Wharton speelde in de jeugdopleiding van Blackburn Rovers. Bij deze club tekende hij in februari 2022 zijn eerste professionele contract.[1] Zijn officiële debuut in het eerste elftal maakte hij later dat jaar op 10 augustus. Op die dag werd in de EFL Cup met 4–0 gewonnen van Hartlepool United. Zijn broer Scott opende de score, waarna de eindstand bereikt werd door treffers van Bradley Dack, Tyrhys Dolan en Dilan Markanday. Wharton mocht van coach Jon Dahl Tomasson in de basisopstelling beginnen en hij speelde het gehele duel mee.[2] Ruim een maand na zijn debuut tekende hij een nieuw contract tot medio 2027.[3]
Zijn eerste doelpunt in het eerste elftal maakte de middenvelder op 22 oktober 2022. Op die dag verdubbelde hij de voorsprong tegen Birmingham City, na een openingstreffer van Sam Gallagher. Uiteindelijk werd het door een tegengoal van Scott Hogan 2–1.[4] Aan het einde van het kalenderjaar 2023 werd het contract van Wharton opengebroken en met een jaar verlengd.[5] Na deze contractverlenging bleef hij niet lang bij Blackburn, want in januari 2024 verkaste hij voor een bedrag van circa eenentwintig miljoen euro naar Crystal Palace, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van vijf seizoenen.[6]