Alfa-stabiele verdeling

Kansdichtheden van enkele symmetrische α-stabiele verdelingen

In de kansrekening vormen de α-stabiele verdelingen een familie van continue verdelingen van stochastische variabelen $X$ die gekenmerkt worden door de volgende eigenschap. Laat $X_{1},\ldots ,X_{n},X$ onderling onafhankelijke gelijkverdeelde stochastische variabelen zijn. Voor alle $n\in \mathbb {N}$ is er een $c_{n}$, zo, dat

$X_{1}+\ldots +X_{n}\sim c_{n}X$

Aangetoond kan worden dat de enige mogelijkheid voor $c_{n}$ is: $c_{n}=n^{1/\alpha }$ met $\alpha \in (0,2]$. Het reële getal $\alpha$ wordt de vormparameter genoemd.

De theorie van de stabiele verdelingen is in belangrijke mate beïnvloed door Paul Lévy.

Voorbeelden

Hoewel de stabiele verdelingen voor elke $\alpha \in ]0,2]$ welgedefinieerd zijn, is de dichtheid slechts voor enkele specifieke waarden van $\alpha$ expliciet gegeven.

• De normale verdeling met verwachtingswaarde 0 is stabiel met vormparameter $\alpha =2$, want voor onderling onfhankelijke $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ geldt:

$\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2})\sim n^{1/2}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$.

De normale verdeling is overigens de enige stabiele verdeling met vormparameter $\alpha =2$.

• Als de onderling onfhankelijke $X_{1},\ldots ,X_{n}$ alle standaard-cauchyverdeeld zijn, geldt

$\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim n\cdot {\rm {Cauchy}}(0,a)$

De standaard-cauchyverdeling is dus stabiel met vormparameter $\alpha =1$.

• De standaard-lévyverdeling is stabiel met $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$.

Literatuur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 2e druk. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Hfdst. 16.

· ·

Kansverdelingen