Quansah speelde vanaf zijn vijfde levensjaar in de jeugdopleiding van Liverpool. In februari 2021 tekende hij hier zijn eerste professionele contract.[1] Nadat hij enkele keren zonder in te vallen op de reservebank had gezeten, werd de verdediger in januari 2023 voor een half seizoen verhuurd aan Bristol Rovers.[2] Hier speelde hij zestien wedstrijden in de League One. Na zijn terugkeer mocht hij zich aansluiten bij het eerste elftal en op 27 augustus 2023 debuteerde Quansah voor Liverpool. In de Premier League mocht hij tegen Newcastle United, dat door een treffer van Anthony Gordon op voorsprong stond, van coach Jürgen Klopp invallen voor Joël Matip. Uiteindelijk won Liverpool met 1–2 door twee doelpunten van Darwin Núñez.[3] Zijn eerste professionele doelpunt maakte hij op 14 december 2023, in de UEFA Europa League tegen Union Sint-Gillis. Door doelpunten van Mohamed Amoura en Cameron Puertas ging het duel met 2–1 verloren.[4]