Palmer speelde vanaf zijn achtste levensjaar in de jeugd van Sheffield Wednesday. Hier speelde hij zijn eerste professionele wedstrijd op 21 augustus 2010, toen in de League One met 1–0 gewonnen werd van Brighton & Hove Albion door een doelpunt van Giles Coke. Palmer mocht van coach Alan Irvine twee minuten voor tijd invallen voor de doelpuntenmaker.[1] In zijn tweede seizoen in het eerste elftal eindigde Sheffield Wednesday op de tweede plaats, waardoor promotie naar het Championship behaald werd. Palmer bleef echter actief in de League One, aangezien Tranmere Rovers hem voor een seizoen op huurbasis overnam.[2] Na zijn terugkeer werd hij een vaste waarde in het eerste elftal van Sheffield Wednesday. In het seizoen 2020/21 degradeerde de club weer naar de League One, om aan het einde van het seizoen 2022/23 de play-offs te winnen en weer terug te keren in het Championship. Hierop verlengde Palmer zijn contract met één seizoen.[3]