Nul-één-wet van Kolmogorov
De Nul-één-wet van Kolmogorov is een wiskundige stelling in de kansrekening over de mogelijke kansen op bepaalde limieten. De wet behoort tot de nul-één-wetten en beschrijft een klasse van gebeurtenissen die bijna zeker (met kans 1) of bijna nooit (met kans 0) optreden. De wet is genoemd naar Andrey Kolmogorov.
Stelling[bewerken | brontekst bewerken]
Zij een kansruimte en een rij σ-algebra's in , dat wil zeggen voor alle . Als de σ-algebra's onderling onafhankelijk zijn, is de staart-σ-algebra van de rij P-triviaal, wat wil zeggen dat voor elke staartgebeurtenis geldt: of .
Analoge uitspraken gelden voor de staart-σ-algebra van een rij onderling onafhankelijke stochastische variabelen, en voor de staart-σ-algebra van een rij onderling onafhankelijke gebeurtenissen.
Gevolgen[bewerken | brontekst bewerken]
Laat een rij onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn en de bijbehorende staart-σ-algebra. Gemakkelijk kan bewezen worden dat . De rij convergeert of divergeert dus bijna zeker. Als in het geval van convergentie de limiet is, dan kan aangetoond worden dat een -meetbare stochastische variabele is. Omdat triviaal is, moet noodzakelijk constant zijn.
Bovendien kan via de Nul-één-wet van Kolmogorov, de Nul-één-wet van Hewitt-Savage afgeleid worden.