Overleg:16 (getal)

"Kennelijk is zestien een van de weinige (of zelfs de enige) oplossingen van de vergelijking x^y = y^x waarvoor tevens geldt dat."

Dit is alleen het geval als je alleen de gehele getallen als mogelijke beschouwt. Maar misschien dat voor andere vanzelfsprekend is.... Anders heeft iedere oplossing die mogelijkheid -xndr 10 sep 2004 21:01 (CEST)

Okay, eens even kijken.

$x^{y}=y^{x}\equiv y\ln(x)=x\ln(y)\equiv$
${\frac {\ln(x)}{x}}={\frac {\ln(y)}{y}}\equiv$
$f(x)={\frac {\ln(x)}{x}}$
$f'(x)={\frac {\ln(x)}{x}}$

Kennelijk heeft f(x) een maximum 1/e voor x=e.

We zien dat 2 en 4 inderdaad de enige geheeltallige combinatie waarvoor geldt dat x^y = y^x. En jij hebt inderdaad ook gelijk: er zijn oneindig veel reële oplossingen (met x tussen 1 en e).

Bedankt voor de opmerking. Bob.v.R 11 sep 2004 12:24 (CEST)

$f'(x)=-{\frac {\ln(x)}{x^{2}}}+{\frac {1}{x^{2}}}$