De benaderingsstelling van Dirichlet is een stelling uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, die handelt over de kwaliteit van diofantische benaderingen van reële getallen door rationale getallen.
Voor elk reëel getal
en voor elk positief geheel getal
zijn er gehele getallen
en
, zodanig dat
en
![{\displaystyle \left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{N+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12fdb640bf387d5cd8744f8e7e3e84af9618e561)
Hieruit volgt, na deling door
en er rekening mee houdend dat
, dat voor elk reëel getal
er oneindig veel paren positieve gehele getallen
bestaan, zodat:
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53cd1be799453661e9e153c4f842b5be4d503a4)
De stelling is vooral interessant als
irrationaal is, bijvoorbeeld
. Stel
. Dan zegt de stelling dat (ten minste) een van de getallen
ten hoogste
verschilt van een geheel getal. We vinden inderdaad dat
,
en
is een diofantische benadering van
met een fout die kleiner is dan
.
De Stelling van Hurwitz uit de getaltheorie is een sterkere versie van de benaderingsstelling van Dirichlet, maar enkel voor irrationale getallen. Die stelling zegt dat er dan oneindig veel paren
bestaan waarvoor:
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot q^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751817fd4c60115663471d127ef60adf333216bb)
In het bovenstaande voorbeeld zien we inderdaad dat de fout van de benadering,
, kleiner is dan