In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de Cauchy-hoofdwaarde een getal dat als waarde wordt toegekend aan een divergente integraal als divergente delen van de integraal met verschillend teken zich wederzijds opheffen. Het gaat daarbij om oneigenlijke integralen met een singulariteit in de integrand of met de grenzen
.
- Voorbeeld 1
Van de oneigenlijke integraal
heeft de integrand een singulariteit in het punt
. De integraal bestaat niet, aangezien
![{\displaystyle \int _{-1}^{0}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=\lim _{\varepsilon \uparrow 0}\int _{-1}^{\varepsilon }{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=-\lim _{\varepsilon \uparrow 0}\ln(|\varepsilon |)=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25458c5c8cccd998c20b40f3038db58b9f762fbb)
en
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\ln(|\varepsilon |)=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501d9e4214fc094a60fd5330deb670bf96da2bb7)
De beide delen
en
zijn echter van tegengesteld teken en heffen elkaar op, zodat de Cauchy-hoofdwaarde gedefinieerd is:
![{\displaystyle \mathrm {CH} \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\left(\int _{-1}^{0-\epsilon }{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x+\int _{0+\epsilon }^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x\right)=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(\ln(|\epsilon |)-\ln(|\epsilon |))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3d4a5de726618e84915bfc82bd13acf695bbdf)
- Voorbeeld 2
De oneigenlijke integraal
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5272f1c9c98c5b580b35df9d413c2b06429f390)
bestaat niet, want
![{\displaystyle \lim _{A\to \infty }\int _{0}^{A}{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x=\lim _{A\to \infty }\int _{0}^{A}{\frac {1}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x^{2}=\int _{0}^{A^{2}}{\frac {1}{z+1}}{\rm {d}}z=\lim _{A\to \infty }\log(A^{2}+1)=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac778304f92ce3a7a0b282a2711f1594ce5eafe)
en
.
Omdat
,
heffen de twee delen elkaar op en is de Cauchy-hoofdwaarde gelijk aan:
![{\displaystyle \mathrm {CH} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28bfc2ce11796edbf7aeaef3315ded41fef5f40)
De Cauchy-hoofdwaarde kent op deze manier een zinvolle waarde toe aan een integraal die oneigenlijk noch als Riemannintegraal, noch als Lebesgue-integraal bestaat.
Er worden twee gevallen onderscheiden
- Geval 1
Stel dat
en de functie
Riemann-integreerbaar is. Als de limiet
![{\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf7ab648ad315b0d46748b2ebeda419bab82f4b)
bestaat, noemt men deze limiet de Cauchy-hoofdwaarde[1] van de integraal en schrijft daarvoor:
![{\displaystyle \mathrm {CH} \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059a5e1185ba1c315746abca37eb5ac91048268f)
- Geval 2
Als
continu is, en de limiet
![{\displaystyle \lim _{A\rightarrow \infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e97043ce72cb9eeb0194a237b56139bb5aaba0c)
bestaat, noemt men deze limiet de Cauchy-hoofdwaarde[2] en schrijft daarvoor:
![{\displaystyle \mathrm {CH} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed12e7ffd3241181847f30121ca393f059ba2ed3)
- ↑ Klaus Fritzsche: Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen. 1. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3827419492, S. 155.
- ↑ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, S. 177.