Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde zijn de euler-polynomen de polynomen
E
n
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}}
, impliciet gedefinieerd door hun voortbrengende functie :
2
e
x
t
e
t
+
1
=
∑
n
=
0
∞
E
n
(
x
)
t
n
n
!
{\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\rm {E}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}
De eerste 7 zijn:
n
{\displaystyle n}
E
n
(
x
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)}
0
1
{\displaystyle 1}
1
x
−
1
2
{\displaystyle x-{\tfrac {1}{2}}}
2
x
2
−
x
=
x
(
x
−
1
)
{\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)}
3
x
3
−
3
2
x
2
+
1
4
=
(
x
−
1
2
)
(
x
2
−
x
−
1
2
)
{\displaystyle x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}}=(x-{\tfrac {1}{2}})(x^{2}-x-{\tfrac {1}{2}})}
4
x
4
−
2
x
3
+
x
=
x
(
x
−
1
)
(
x
2
−
x
−
1
)
{\displaystyle x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)}
5
x
5
−
5
2
x
4
+
5
2
x
2
−
1
2
=
(
x
−
1
2
)
(
x
2
−
x
−
1
)
2
{\displaystyle x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}=(x-{\tfrac {1}{2}})(x^{2}-x-1)^{2}}
6
x
6
−
3
x
5
+
5
x
3
−
3
x
=
x
(
x
−
1
)
(
x
4
−
2
x
3
−
2
x
2
+
3
x
+
3
)
{\displaystyle x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x=x(x-1)(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+3x+3)}
De polynomen kunnen ook recursief gedefinieerd worden door:
E
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle {\rm {E}}_{0}(x)=1}
en voor
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=1,2,\ldots }
E
2
n
−
1
(
x
)
=
∫
1
/
2
x
(
2
n
−
1
)
E
2
n
−
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\rm {E}}_{2n-1}(x)=\int _{1/2}^{x}(2n-1){\rm {E}}_{2n-2}(t)\,{\rm {d}}t}
E
2
n
(
x
)
=
∫
0
x
2
n
E
2
n
−
1
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\rm {E}}_{2n}(x)=\int _{0}^{x}2n{\rm {E}}_{2n-1}(t)\,{\rm {d}}t}
Euler-polynomen zijn, afgezien van het teken, symmetrisch om het punt
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
, d.w.z.:
E
n
(
1
2
+
x
)
=
(
−
1
)
n
E
n
(
1
2
−
x
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}+x)=(-1)^{n}{\rm {E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}-x)}
Voor de waarden in de punten
x
=
1
2
{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}}
en
x
=
0
{\displaystyle x=0}
geldt:
E
n
(
1
2
)
=
2
−
n
E
n
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}({\tfrac {1}{2}})=2^{-n}E_{n}}
en
E
n
−
1
(
0
)
=
(
2
n
+
1
−
2
)
B
n
n
,
{\displaystyle {\rm {E}}_{n-1}(0)=(2^{n+1}-2){\frac {B_{n}}{n}},}
waarin
(
E
n
)
{\displaystyle (E_{n})}
de eulergetallen zijn en
(
B
n
)
{\displaystyle (B_{n})}
de bernoulli-getallen .
Er geldt de identiteit:
E
n
(
x
+
1
)
+
E
n
(
x
)
=
2
x
n
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x+1)+{\rm {E}}_{n}(x)=2x^{n}}
Voor
n
>
5
{\displaystyle n>5}
heeft de Euler-polynoom
E
n
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}}
minder dan
n
{\displaystyle n}
reële nulpunten . Weliswaar heeft
E
5
{\displaystyle {\rm {E}}_{5}}
5 nulpunten, waarvan er 2 dubbel zijn, maar
E
6
{\displaystyle {\rm {E}}_{6}}
heeft slechts de twee (triviale) nulpunten 0 en 1.