Het galoislichaam (Nederlands) / galoisveld (Belgisch)
, ook genoteerd als
, is het eindige lichaam/veld van orde 16, dus met 16 elementen. Het is een uitbreiding van graad vier van het lichaam/veld
met alleen de elementen 0 en 1, en de optelling modulo 2. De karakteristiek van
is daarmee ook 2. De uitbreiding
kan op verschillende manieren worden geconstrueerd. Dat kan onder meer op de manier waarop de complexe getallen als uitbreiding van de reële getallen worden geconstrueerd door toevoeging van een nieuw element
dat voldoet aan
of door de voorstelling als een lineaire ruimte met vermenigvuldiging, waarbij een algebra wordt ingevoerd.
Voeg aan
een nieuw element
toe dat
voortbrengt. Daarmee zijn alle machten van
elementen van
bepaald en moeten de eerste 14 machten verschillend zijn aan 1. Dan kan het niet anders dat
.
![{\displaystyle \mathrm {GF} (16)=\{0,\ 1,\ \alpha ,\ \alpha ^{2},\ \alpha ^{3},\ \ldots ,\ \alpha ^{14}\ \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50caa232be7e449696d594c3ea8570bbd6fe11fd)
Het nieuwe element
is dus een eenheidswortel. Omdat
voortbrenger is, kunnen de elementen
en
niet als lineaire combinatie van lagere machten worden uitgedrukt.
bestaat uit de lineaire combinaties van
en
. Een element
is dus van de vorm:
![{\displaystyle m=m_{3}\alpha ^{3}+m_{2}\alpha ^{2}+m_{1}\alpha +m_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449308e009b335ed36680a94081dfb1aa83e6cb3)
met
, dus 0 of 1.
Merk op dat de vier coëfficiënten als een vector kunnen worden opgevat.
Het element
en ook alle hogere machten moeten in de lagere machten van
kunnen worden uitgedrukt
![{\displaystyle \alpha ^{4}=k_{3}\alpha ^{3}+k_{2}\alpha ^{2}+k_{1}\alpha +k_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62dd76e99c864662b0bbc7cbefd060f3e65f5163)
Dat betekent dat
een wortel is van een irreducibel polynoom
![{\displaystyle x^{4}+k_{3}x^{3}+k_{2}x^{2}+k_{1}x+k_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c2a443c8a093f1c9b72f3b451f6fe4e8fa09e9)
In
zijn drie van de 16 vierdegraadspolynomen irreducibel, namelijk
![{\displaystyle f_{1}(x)=x^{4}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6328726605f6e8e5c751b94d6b1a7b8181be0fd)
![{\displaystyle f_{2}(x)=x^{4}+x^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7dbf0b9dd88a42246aa7b7448539c594deaaaba)
![{\displaystyle f_{3}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcde8491d8715d408981186e88c2710adc177ba5)
want het zijn geen kwadraten en er is geen nulpunt.
Als reducerende vergelijking komen dus in aanmerking:
![{\displaystyle \alpha ^{4}=\alpha +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2769e910793201bd31b26316ae56841f10b3d4e5)
![{\displaystyle \alpha ^{4}=\alpha ^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df88dbb9d1e705b61eeaf40f42ebc0cb4528ca6)
![{\displaystyle \alpha ^{4}=\alpha ^{3}+\alpha ^{2}+\alpha +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70e4ca1745db0a7bc37f803a6f2abf585f1b769)
- Met
![{\displaystyle f_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50dfd257a51e037112c917f8a9e47c9c053466df)
Noem de voortbrenger
. De reducerende vergelijking is
![{\displaystyle \alpha ^{4}=\alpha +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2769e910793201bd31b26316ae56841f10b3d4e5)
In berekeningen wordt
steeds gelijkgesteld aan
. Zo is bijvoorbeeld:
![{\displaystyle \alpha ^{10}=(\alpha ^{4})^{2}\alpha ^{2}=(\alpha +1)^{2}\alpha ^{2}=(\alpha ^{2}+1)\ \alpha ^{2}=\alpha ^{4}+\alpha ^{2}=\alpha ^{2}+\alpha +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74fc9c46777776aaa1770b087538c9d1d58f1c63)
De
met
zijn ook voortbrengers.
Verder
![{\displaystyle (x+\alpha )(x+\alpha ^{2})(x+\alpha ^{4})(x+\alpha ^{8})=x^{4}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a489fea5f1d24fec664e63e132c31055a36b032e)
de wortels zijn voortbrengers.
De andere voortbrengers zijn wortels van
![{\displaystyle (x+\alpha ^{7})(x+\alpha ^{14})(x+\alpha ^{13})(x+\alpha ^{11})=x^{4}+x^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd398dc084cffe33389c7dd8f8c86370fcb9f45)
Als voorbeeld nog de berekening
![{\displaystyle =\alpha \ \alpha ^{4}+\alpha ^{4}+1=(\alpha +1)^{2}+1=\alpha ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21edbf9c55a358f99d1daec931561f26119d83c)
- Met
![{\displaystyle f_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc886fdaa7adc9be11ff4a5076da5e0943bcff58)
Noem de voortbrenger
. De reducerende vergelijking is
![{\displaystyle \beta ^{4}=\beta ^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0874dcf5359e1b5abafb5feb5611db0316dd15)
Verder
![{\displaystyle (x+\beta )(x+\beta ^{2})(x+\beta ^{4})(x+\beta ^{8})=x^{4}+x^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfdbf0cc0a677715a7a72ee984dcfd08ebd3668)
de wortels zijn voortbrengers.
Omdat in de voorstelling met
:
![{\displaystyle (x+\alpha ^{7})(x+\alpha ^{14})(x+\alpha ^{13})(x+\alpha ^{11})=x^{4}+x^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd398dc084cffe33389c7dd8f8c86370fcb9f45)
volgt dat:
![{\displaystyle \beta =\alpha ^{7},\ \alpha ^{14},\ \alpha ^{13}{\text{ of }}\alpha ^{11}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6291cc36b78b8032cc227c5f19d502926a9b6b85)
- Met
![{\displaystyle f_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e542b30556f75f837f72ea05a3940ddf38937d3)
is ook een lichaam.
De reducerende vergelijking is
![{\displaystyle \gamma ^{4}=\gamma ^{3}+\gamma ^{2}+\gamma +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abae1defe3644f69ef0f01d902d85f4bb18a3064)
Er geldt
![{\displaystyle \gamma ^{5}=\gamma ^{4}+\gamma ^{3}+\gamma ^{2}+\gamma =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33af3ea600aea9e25890049afc60e106454c1fe)
Het element
is geen voortbrenger, maar
wel.
![{\displaystyle \gamma ^{4}=\gamma ^{3}+\gamma ^{2}+\gamma +1=(\gamma +1)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d134fb240aa2e77779ce12073f2231b61643e1)
dus
![{\displaystyle (\gamma +1)^{4}=(\gamma +1)^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8710e1218bc1206c4350846c7abbb5dc0dfcc672)
Toevoegen van
, dus van
, is hetzelfde als toevoegen van
.
![{\displaystyle \gamma =\beta +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeefe81e2bf21b854be370571a7f01316011382)
Verder
![{\displaystyle (x+\gamma )(x+\gamma ^{2})(x+\gamma ^{4})(x+\gamma ^{8})=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49248a4bd0514001ab4fffb8cd3d52f4f0506b71)
Verder geldt:
![{\displaystyle \gamma =\beta +1=\alpha ^{14}+1=\alpha ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cc4b7b1eeae15e1ee14c260a5b1eda983420f3)
kan ook worden voorgesteld als een vierdimensionale lineaire ruimte met een vermenigvuldiging over
en met de optelling modulo 2 en de vermenigvuldiging bepaald door:
![{\displaystyle (k_{3},k_{2},k_{1},k_{0})\cdot (0,0,0,1)=(k_{3},k_{2},k_{1},k_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cd6d41be83671d519c9edfbba18ad59e625f96)
![{\displaystyle (0,k_{2},k_{1},k_{0})\cdot (0,0,1,0)=(k_{2},k_{1},k_{0},0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51567ccee1527e72e2f839bad50df50a97f500c8)
![{\displaystyle (1,0,0,0)\cdot (0,0,1,0)=(0,0,1,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb03c67afe32626a5680e26be2febb82c47c50d8)
Dan is
![{\displaystyle (0,0,0,0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b2ae1e35b72af9b72362f788f690386082bb6f)
![{\displaystyle (0,0,0,1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c0fe1509a382b81ae0b3e78ac3007dda9d9eb4)
Noemt men
![{\displaystyle (0,0,1,0)=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78dcc8742f4dfcf8937a96c40759ab2f79c35c0c)
dan komt de laatste regel voor de vermenigvuldiging op de reductie neer:
![{\displaystyle \alpha ^{4}=\alpha ^{3}\cdot \alpha =\alpha +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabe2f01eef49fb7aca010a4304d4e967095f9fd)
en is ieder element
weer een lineaire combinatie van de vorm
![{\displaystyle k=k_{3}\alpha ^{3}+k_{2}\alpha ^{2}+k_{1}\alpha +k_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd2a4a05acd965838f52bcb7ef0e7b19e267fd4)
De voorbeeldberekening gaat op dezelfde manier als de berekening in de binaire representatie.
De vectoren in de tweede representatie kunnen ook als nibbles worden gezien met als optelling de operatie exclusieve disjunctie XOR en 0001 = 1. De vermenigvuldiging met 0010 is een linksverschuiving. Overflow resulteert in bijtellen van 0011.
De voorbeeldberekening verloopt als volgt:
![{\displaystyle (1000+0010+0001)(0100+0010+0010)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7e85aa105e8fd00a1889acd48ff47ff7341efc)
![{\displaystyle =\ (1000+0010+0001)\cdot 0100\ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717377f5c57825679fd3406f0768ceda515e46d5)
![{\displaystyle \ +(1000+0010+0001)\cdot 0010\ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c867b0e1fb7437b98c1f2b38182686d1cbb1875)
![{\displaystyle \ +(1000+0010+0001)\cdot 0001\ \ =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46cbd47b1646bc1399ab333e8113c9b80e6f6a4d)
![{\displaystyle =\ 0110+1000+0100\ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa574ce7874709c4bd96f1d9ee4469893c8bb15)
![{\displaystyle \ +0011+0100+0010\ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fbffdbb79cd5202ce380149157086bb38bc1e70)
![{\displaystyle \ +1000+0010+0001\ \ =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b379944f54d15243059421ca8896e6d73d72da9)
![{\displaystyle =\ 1010+0101+1011=0100}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571d18638daa86f0ab0fe0e4f2405890d6f05a3b)
Een vierde mogelijke representatie van
is met polynomen over
als elementen. Een element
heeft dan de vorm:
![{\displaystyle k(x)=k_{3}x^{3}+k_{2}x^{2}+k_{1}x+k_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2333266517a4559d44948f23c4302bda7abfeec)
met
, dus 0 of 1. Optellen modulo 2 en vermenigvuldigen gaan op de gebruikelijke manier. Het identieke polynoom
is dan een voortbrenger. Het is ook nu weer de vraag hoe
moet worden gereduceerd.
is ook hier een van de mogelijkheden, wat betekent dat modulo
wordt gerekend. Het identieke polynoom
komt overeen met het nieuwe element
in de eerste representatie.
Deze voorstelling is in wezen gelijk aan de constructie van de factorring
.
De voorbeeldberekening vertoont veel overeenkomsten met het eerste geval:
![{\displaystyle =x^{4}(x+1)+1=(x+1)^{2}+1=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641e53ffaa90ae5d2785aea8dbef4f36bd431bf9)
Volgens een stelling is het lichaam/veld
alleen dan een deellichaam
als
door
kan worden gedeeld.
Dus is
geen deellichaam van
.
De multiplicatieve groep is cyclisch. Noem een voortbrenger
De reducerende vergelijking is:
![{\displaystyle b^{3}=b+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719648b5345a38c366fca0d62a24bd89afd76815)
![{\displaystyle \mathrm {GF} (8)=\{0,\ 1,\ b,\ b^{2},\ b^{3},\ b^{4},\ b^{5},\ b^{6}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65102fda6e57a59c6eaf4bc00513dce2bec96153)
met
![{\displaystyle b^{3}=b+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719648b5345a38c366fca0d62a24bd89afd76815)
![{\displaystyle b^{4}=b^{2}+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2c954456535f65fc5b92b5befa6e0f587b856c)
![{\displaystyle b^{5}=b^{3}+b^{2}=b^{2}+b+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab758d09a276c376e892238093a3efc6f347dde)
![{\displaystyle b^{6}=(b^{3})^{2}=b^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d2c1cdc6f0a8bddae5b1d8384f41aaa2e2bc7e)
![{\displaystyle b^{7}=b^{3}+b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b248cf3b6e1e7b157372bc40a79696e676952383)
Het lichaam/veld
is wel een deellichaam van
![{\displaystyle \mathrm {GF} (4)=\{0,1,p,q\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f357cd5486488c5a256fd5b0ba7316ffb6dfdbd)
met
![{\displaystyle p+q=1;\ p^{2}=q;\ p^{3}=pq=1;\ q^{2}=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c3b21980f7e0dd1042db090733c1110fbb80ee)
![{\displaystyle p^{2}+p+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9ce10590422ea7d64558f5fd95f0b54379d4af)
verband met
![{\displaystyle \mathrm {GF} (16):\ p=\alpha ^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c626f7fc0c6c86d8cef6360d9a8e8150d353a866)
![{\displaystyle \alpha ^{2k}+\alpha ^{k}+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7003a041db27f45843d5e6b78076e320b384a3)
![{\displaystyle k=5,\ k=10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23df5f3158e9c5ef5d6d8c5813bf67c081edb52)
Twee voortbrengers van
![{\displaystyle \alpha ^{5},\ \alpha ^{10}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1ee14674e051fa2f1cdde81f27707745118d36)
is een deellichaam van
, maar niet van
.