Een cosinustransformatie drukt de rij van
data
![{\displaystyle x=(x_{0},\ldots ,x_{N-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781dbb755edb6571d7b815709f46b86e25bf9b38)
uit als lineaire combinatie van discrete functies
op het interval
:
voor ![{\displaystyle n=0,\ldots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9168279752c9ca45e37f300b24492d3b580749d)
met
en
een rij equidistante deelpunten van
. De cosinustransformatie ontleent zijn naam aan de keuze van, op een weegfactor na, cosinussen voor de functies
:
![{\displaystyle C_{k}(t_{n})=\gamma _{k}\cos(kt_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9dfc06bc39b561d1d1159b7378730a3e82d34e3)
Er zijn verschillende keuzes mogelijk voor de cosinussen, wat leidt tot de transformaties DCT-I, DCT-II, DCT-III en DCT-IV.
De transformatie DCT-I is
![{\displaystyle X_{m}={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{m}x_{N-1})+\sum _{n=1}^{N-2}x_{n}\cos \left({\frac {\pi }{N-1}}mn\right)\quad \quad m=0,\ldots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eebdca67e25d454a2ada059d8b24dcc3c46cec9)
met de keuze
![{\displaystyle c_{m,0}={\tfrac {1}{2}},\quad c_{m,N-1}=(-1)^{m}{\tfrac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943785c8f9b4f3e8b896984d58415b40c14f8856)
en
![{\displaystyle c_{m,n}=\cos \left(mn{\frac {\pi }{N-1}}\right)\quad \quad n=1,\ldots ,N-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0921ca48dcb17fd99d9d4d9d353b022ffd763c05)
De DCT-I is op een factor
na z'n eigen omgekeerde.
De gebruikelijke vorm van de cosinustransformatie is de DCT-II. Voor het bepalen van de getransformeerde wordt het interval
opgedeeld in
gelijke delen. De cosinussen worden geëvalueerd in de middens van de deelintervallen, dus
![{\displaystyle c_{m,n}=\cos \left(m\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76888823d741261a3e557c49ab3aedf85fe6247d)
De DCT-II is dus gedefinieerd door:
voor
.
De DCT-III is op een factor
na de omgekeerde van de DCT-II. De coëfficiënten zijn:
![{\displaystyle c_{m,0}={\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\cos(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb57a71e94a4918ae2a9721136671f70465560e)
voor
.
De DCT-III is dus gedefinieerd door:
voor
.
Bij deze vorm van de discrete cosinustransformatie zijn de coëfficiënten:
![{\displaystyle c_{m,n}=\cos \left(\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4aa5ca069196eadea81203192f3b320900fbfb9)
De DCT-IV is dus gedefinieerd door:
voor
.
De DCT-IV is op een factor
na z'n eigen omgekeerde.
De functies
vormen een orthogonaal stelsel ten opzichte van het inproduct voor rijen
:
![{\displaystyle \langle a,b\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}a_{n}b_{n}={\tfrac {1}{2}}a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N-2}a_{n}b_{n}+{\tfrac {1}{2}}a_{N-1}b_{N-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9259040ff411a8c55243b215db6fec24776cfbe)
Dat houdt in dat:
voor ![{\displaystyle i\neq j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95aeb406bb427ac96806bc00c30c91d31b858be)
Verder is:
![{\displaystyle \langle C_{0},C_{0}\rangle =\langle C_{N-1},C_{N-1}\rangle =N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9891caf4d79da45e867e9e6809028dc0efca9222)
voor ![{\displaystyle 0<k<N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca915783958b249f493047296f73a089d6062373)
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
- DCT-I
Orthogonaliteit:
Gekozen:
:
![{\displaystyle C_{k}(t_{n})=\cos(nk\pi /(N-1))=c_{kn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6032099633a3afc4e7d6861e25a01fee51a119ad)
- Bewijs
![{\displaystyle \langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}c_{m0}c_{k0}+\sum _{n=1}^{N-2}c_{mn}c_{kn}+{\tfrac {1}{2}}c_{m,N-1}c_{k,N-1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277e8d76a72e656e7c4fa09d43558db2f436b229)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+\sum _{n=1}^{N-2}\cos \left(mnh\right)\cos \left(knh\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8586aa42d417c64704ad801e742ca021d2b8e4a0)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N-2}{\big (}\cos((m+k)nh)+\cos((m-k)nh){\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5256bfe4aeb37b8043d02fc45609945e81f1b875)
Noem
![{\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{N-2}\cos(knh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641ed728f06d1fe1cf880b4f714e5ab84b3cd49a)
Dan
![{\displaystyle =\sum _{n=1}^{N-2}\sin(k(n+{\tfrac {1}{2}})h)-\sin(k(n-{\tfrac {1}{2}})h)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f9e11f3a90789d2dad12371a08c22f74afef25)
![{\displaystyle =\sin(k(N-{\tfrac {3}{2}})h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4bd2acfec5de18d43ca772a3eaa163aa184d380)
![{\displaystyle =\sin(k(N-1)h)\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-\cos(k(N-1)h)\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2107988d3e162f5aa860e146bb7e9e849a21134)
![{\displaystyle =-\cos(k\pi )\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e023a09431f2d83b24f5011a55607b866964fe)
dus
![{\displaystyle S_{k}=-{\tfrac {1}{2}}\cos(k\pi )-{\tfrac {1}{2}}={\begin{cases}-1{\text{ voor }}k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}k{\text{ oneven}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946b08b03b7d389ad8505332ce88b99cb9b11007)
zodat
![{\displaystyle \langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+{\tfrac {1}{2}}(S_{m+k}+S_{|m-k|})={\begin{cases}0{\text{ voor }}m+k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}m+k{\text{ oneven}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d9d0a03656b4bc52920db3dffbbcd63c7921a5)
- DCT-II
Orthogonaliteit:
Gekozen:
:
![{\displaystyle C_{k}(t_{n})=\cos(k(n+{\tfrac {1}{2}})\pi /N)=c_{kn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e5b096bdc0855fa61d6107b4e93c1bc143ddf6)
- Bewijs
![{\displaystyle \langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}c_{m0}c_{k0}+\sum _{n=1}^{N-2}c_{mn}c_{kn}+{\tfrac {1}{2}}c_{m,N-1}c_{k,N-1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277e8d76a72e656e7c4fa09d43558db2f436b229)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\big (}\cos(m{\tfrac {1}{2}}\pi /N)\cos(k{\tfrac {1}{2}}\pi /N)+\cos(m(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N)\cos(k(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N){\big )}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc098b4836b86bb8d53b2c34fdf6eaff84ffdede)
![{\displaystyle +\sum _{n=1}^{N-2}\cos \left(m(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)\cos \left(k(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf555d747b592f4553bbf898b905f7b0ec8913bf)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{3}}{\big (}\cos((m+k){\tfrac {1}{2}}\pi /N)+\cos((m-k){\tfrac {1}{2}}\pi /N)+\cos((m+k)(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N)+\cos((m-k)(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N){\big )}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5926ac27ebe2bb7a4067c7738856462a87400db1)
![{\displaystyle +\sum _{n=1}^{N-2}\cos \left((m+k)(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)+\cos \left((m-k)(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e4ba73595e57caa0ebf09c74b135df2150f093)
Noem
![{\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{N-2}\cos(k(n+{\tfrac {1}{2}})h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964c2f6d026d93d25c99961cb315cc31c5d78b72)
Dan
![{\displaystyle =\sum _{n=1}^{N-2}\sin(k(n+{\tfrac {1}{2}})h)-\sin(k(n-{\tfrac {1}{2}})h)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f9e11f3a90789d2dad12371a08c22f74afef25)
![{\displaystyle =\sin(k(N-{\tfrac {3}{2}})h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4bd2acfec5de18d43ca772a3eaa163aa184d380)
![{\displaystyle =\sin(k(N-1)h)\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-\cos(k(N-1)h)\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2107988d3e162f5aa860e146bb7e9e849a21134)
![{\displaystyle =(\sin(kNh)\cos(kh)-\cos(kNh)\sin(kh))\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-(\cos(kNh)\cos(kh)+\sin(kNh)\sin(kh))\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a21a2674d5938cefbbb7e6e6b4aa92c33edb3e)
![{\displaystyle =-\cos(kNh)\sin(kh)\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-\cos(kNh)\cos(kh)\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b13249df047c1c28d70b6ba3adcd79e0a3f1bf5)
![{\displaystyle =-\cos(k\pi )\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e023a09431f2d83b24f5011a55607b866964fe)
dus
![{\displaystyle S_{k}=-{\tfrac {1}{2}}\cos(k\pi )-{\tfrac {1}{2}}={\begin{cases}-1{\text{ voor }}k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}k{\text{ oneven}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946b08b03b7d389ad8505332ce88b99cb9b11007)
zodat
![{\displaystyle \langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+{\tfrac {1}{2}}(S_{m+k}+S_{|m-k|})={\begin{cases}0{\text{ voor }}m+k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}m+k{\text{ oneven}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d9d0a03656b4bc52920db3dffbbcd63c7921a5)
![{\displaystyle x:[0,\pi ]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f92b56b6aa3980cc5f6771e0a4cbd11fcb9e76)
![{\displaystyle N;t_{n}=n{\frac {\pi }{N}},\ n=0,1,\ldots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c1073b664d5c60659189a1bffdc462e75c90ae)
![{\displaystyle m_{n}=(n-{\tfrac {1}{2}}){\frac {\pi }{N}},\ n=1,\ldots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7355447a943e12c2e8cc73671909b0b779424e20)
![{\displaystyle \mathrm {I} :\quad x_{n}=x(t_{n}),\ n=0,1,\ldots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd22bf338bfe76df27565163b41c1110e32d965)
![{\displaystyle \mathrm {II} :\quad x_{n}=x(m_{n}),\ n=1,\ldots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1b166a41b333d70bc4fc849a2ec56e08cc547e)
![{\displaystyle C_{k}(t)=\cos(kt),\ n=0,1,\ldots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945e279cd240dd6815347ca794f62816b46bf5e7)
![{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=0}^{N}c_{n,k}X_{k},\ n=0,1,\ldots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ba9a65381415e0a46fe8c561f92c4355952bf0)
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\tilde {c}}_{n,k},\ k=0,1,\ldots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fa0f338ca10ba6095caaba0886571a15debd1f)
![{\displaystyle x^{*}(t)=\sum _{k=0}^{N}C_{k}(t)X_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc8d1bf77b59410def9304a76b05b01f1e18916)
![{\displaystyle C_{k}(-t_{n})=\cos(-kt_{n})=\cos(kt_{n})=C_{k}(t_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd51f35bd9c273a089e163a34c90547bc783561)
![{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{N}c_{n,k}X_{k},\ n=1,\ldots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639f71d269816e570e165637f5d818e8f56953cc)
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=1}^{N}x_{n}{\tilde {c}}_{n,k},\ k=1,\ldots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a6ce2832892c93a19502fb2b896ec7ae44194b)
![{\displaystyle C_{k}(-t)=\cos(-kt)=\cos(kt)=C_{k}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e139b251e6acdb0fc3d2c664578b0d0f1b7a1b08)
Lineaire algebra
Data
![{\displaystyle x=(x_{0},\ldots ,x_{N})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3092e1aa975789321325daf82a739cb396182708)
vector in
orthogonaal stelsel (tov??)
![{\displaystyle c_{k}=(c_{k0},\ldots ,c_{kN}),\quad k=0,\ldots N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f5151369001cc1f14521e93dc8ba2cfb46f1b3)
is volledig en o.o. en vormt dus een basis
Dus zijn er
![{\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83293b01dac75284a6b49bac4c5502a927b6094)
zo, dat
![{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=0}^{N}X_{k}c_{kn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88f4836b6ba20626402b264685c30caff50f3e2)
Dan
![{\displaystyle \langle x,c_{m}\rangle =\sum _{k=0}^{N}X_{k}\langle c_{k},c_{m}\rangle =X_{m}\langle c_{m},c_{m}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90fa071f814c0ae5906c08447251b10d5a4968f1)
Dus
![{\displaystyle X_{m}={\frac {\langle x,c_{m}\rangle }{\langle c_{m},c_{m}\rangle }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0eb5f19294212cdc30207aba05c702baa97bcf9)
Keuze??
![{\displaystyle c_{kn}=\cos(kn{\tfrac {\pi }{N-1}});k,n=0,\ldots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b878005479767b0994dc4fe72865edcf43e9d22f)
?
![{\displaystyle c_{kn}=\cos((k+{\tfrac {1}{2}})n{\tfrac {\pi }{N}});\ k,n=0,\ldots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269007900f0d566cb2ce87437146815902e0a56a)
?
En: In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
welgefundeerde relatie: ieder niet leeg deel bevat een minimaal element.
welgefundeerde orde: partiele ordening die welgefundeerd is
welgefundeerde verzameling: verzameling met welgefundeerde orde
keten: deel van welgefundeerde verzameling dat totaal geordend is
preorde = homogene tweeplaatsige relatie die reflexief en transitief is.
partiele orde = preorde + antisymmetrisch
totale orde = partiele orde + totaal(="elk tweetal vergelijkbaar")
welgefundeerde totale orde = totale orde + welgefundeerd
welorde = welgefundeerde totale orde + strict
reele vectorruimte
geometrisch product
gedefinieerd in termen van inproduct en wedgeproduct:
inproduct:
![{\displaystyle a,b\in V:a\cdot b\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc23557253f15d9f661d0403b37dfffea28f0f6)
![{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4b7dede7493e0231b3ad6ff9b54f4eae954108)
wedgeproduct (wat is dat?):
element van quotient van tensorproducten
![{\displaystyle a\wedge b=-b\wedge a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9dad340def0f6bd8648f4a3560a2b29fb7d9fd)
dan geometrisch product
element van??
ruimten
![{\displaystyle V,W,X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42319f0cec4e40d4423194122464f8a328bda34b)
bilineaire afbeelding
![{\displaystyle \otimes \colon V\times W\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2fb1997743ff0635a2bac660f9bc068dc731b0)
tensorproduct
![{\displaystyle \otimes (v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfcb7141a3c3c4660b123c18fdcec48b7bfd1c8)
genoteerd als
![{\displaystyle v\otimes w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710c0ffa6ca79aa8934b9a477f5e675068d63e9c)
de deelruimte van
die wordt voortgebracht door de
heet tensorproduct
Bases
, dan
![{\displaystyle (v_{i}\otimes w_{j})\subset V\otimes W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155e2a6ad31b4f050b1a3b6a71f338f5715f0845)
basis
, dus
![{\displaystyle x\in V\otimes W\Rightarrow x=\sum _{ij}x_{ij}v_{i}\otimes w_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7f416a5d6b8d68f2f77b50f97d8dafda857c92)
en
![{\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}v_{i},\quad b=\sum _{j}b_{j}w_{j}\Rightarrow a\otimes b=\sum _{ij}a_{i}b_{j}v_{i}\otimes w_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb286787b547d55a62b97da73294ec7b5886be1f)
verband met kronecker-product?
- Voorbeeld
Het tensorproduct
wordt geimplementeerd door:
![{\displaystyle (1,0)\otimes (1,0)=(1,0,0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d693760e82c9ecb98fd516477a8fa9bb430e31)
![{\displaystyle (1,0)\otimes (0,1)=(0,1,0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becf3c25e8ec383de1e646e50e66d11b36738938)
![{\displaystyle (0,1)\otimes (1,0)=(0,0,1,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271098d356b4969eeed00814a4f4c10d552f1c0a)
![{\displaystyle (0,1)\otimes (0,1)=(0,0,0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539afd478d0085ee7b34de14d482b2fde82b55f2)
dus de
, met
![{\displaystyle a=(a_{1},a_{2}),\quad b=(b_{1},b_{2})\Rightarrow a\otimes b=(a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},a_{2}b_{1},a_{2}b_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df02988a8e580f66b1054b9dcd66f4896e52d02)
en ook door de 2×2-matrices
Tensor uit
, bv.
, wat kun je daarmee?
2. axiomatisch gedefinieerd geometrisch product
, waaruit inproduct en wedgeproduct volgen
axioa's
![{\displaystyle a(bc)=(ab)c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0a4e7cbc84f85ef410df6762ffb59a13fe3846)
![{\displaystyle a(b+c)=ab+ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aad41bae613e8522d4d598bcf9f52772f472c55)
![{\displaystyle (a+b)c=ac+bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bac1470710402d1e4dcefa2a0623be84f66735)
![{\displaystyle a^{2}=Q(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e9f72f43ad21ca3bc1d821c4c87e6662d09963)
dan
, dus scalair
![{\displaystyle a\wedge b={\tfrac {1}{2}}(ab-ba)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e269b05333092028eb4f7a4e86bb9de7ed73ec)
driehoek gevormd door a en b; dan vectorieel:
![{\displaystyle a+b=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c85465b60dd983e3d20d07b64938bbf40b9220d)
![{\displaystyle |a+b|=|c|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9e79bf2ca575434f114f9b1a75b6514d8ba152)
![{\displaystyle |a+b|^{2}=|c|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757b78fbadb3ba96a375d32001417606a6be6bfa)
dus volgens cosinusregel:
![{\displaystyle |a+b|^{2}=|c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a||b|\cos \angle (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46be1641e923216e38d0dfe98a05aca06e3f05fb)
![{\displaystyle |a+b|^{2}-|a|^{2}-|b|^{2}=-2|a||b|\cos \angle (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6dfe32320929abf87f6cd61b395f5800378384)
???
![{\displaystyle Q(a+b)-Q(a)-Q(b)=-2|a||b|\cos \angle (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f582e8edd25d156cb0df5337c66c1bf5c08768b2)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2})=-|a||b|\cos \angle (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c49d26efef195169a1b73a6bccef454c27100ee)
en dan
(minteken?)
Dus het "dot-product" is een inproduct dat overeenkomt met het euclidische inproduct
.
![{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c={\tfrac {1}{2}}(ab+ba)\cdot c={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}(ab+ba)c+c{\tfrac {1}{2}}(ab+ba)\right)={\tfrac {1}{4}}(abc+bac+cab+cba)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2ef648f18c7a61927d14be72ecc1e5c411d37a)
bivector
enkelvoudig: wedgeproduct van twee vectoren
dimensie 2 of 3: alle bivectoren zijn enkelvoudig
georienteerd oppervlakte-element.
hoe tel je twee bivectoren bij elkaar op?
![{\displaystyle a\wedge b+c\wedge d=(\det(a,b)+\det(c,d))e_{1}\wedge e_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bba5e96fb42269f78456a1d6917b573eada5d20)
dus tel de opp op
in 3D
![{\displaystyle a\wedge b=D_{12}e_{1}\wedge e_{2}+D_{23}e_{2}\wedge e_{3}+D_{13}e_{1}\wedge e_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade73d173dd2d9e9fc6d7cff4e582038c62e5b4f)
![{\displaystyle c\wedge d=D'_{12}e_{1}\wedge e_{2}+D'_{23}e_{2}\wedge e_{3}+D'_{13}e_{1}\wedge e_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1372c725c9198c2e39f6a054c6b820ce9c9e0e4c)
in 3D alle bivectoren enkelvoudig
![{\displaystyle a\wedge b+c\wedge d=x\wedge y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0f23b30271f701559d0a1b8cedd89b1b872dc2)
![{\displaystyle D_{12}=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df79260c0e784129e2103c81efcd9bbfc52243c)
![{\displaystyle D'_{12}=c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f639bf5a2c5fb7f90e7e90546cd139f4b56435)
dus
![{\displaystyle x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e47332630a16148f329c9b4fa90be97a21f375)
tel de projecties op de vlakken bij elkaar op; deze moeten de projecties zijn van
trivector
grassmann-algebra: vectorruimte met grassmann-product
grassmann-product
trilineaire afbeelding T:
![{\displaystyle T(ax,by,cz)=abcT(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dda2bccadc76a7b53675faa372b61b1b671a02)
![{\displaystyle T(x+x',y,z)=T(x,y,z)+T(x',y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c77281076b6d33de29c9658ca86a6362f46ebb)
etc
als er een bilineaire afbeelding
is die paren basisvectoren
eenduidig afbeeldt in
, heet
het tensorprduct
van
en
:
Engel-ontwikkeling van
:
![{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\ldots \right)\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ea92c94cc929d59dffd7d1c41cc95e921e81f4)
![{\displaystyle 2\leq a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84fb9dc739be4800cc256f7209d073277c8a138)
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\leq x<{\frac {1}{n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee8bc5e568d34388e8d2c9a842c0f61346e6f8d)
dan
![{\displaystyle a_{1}\geq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d36617c69fc4f2bbdba90d62960d228e052a5b2)
het blijkt
![{\displaystyle a_{1}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4232a1738ff9ccceb415dcb15fee259d845524)
dus
![{\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}\leq x<{\frac {1}{a_{1}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbaba4e3d40ec33819179155e63fe8ff611e93f)
![{\displaystyle 0\leq a_{1}x-1<{\frac {a_{1}}{a_{1}-1}}-1={\frac {1}{a_{1}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4f1e50d7a837f26c8a96a1f6af408934cffd47)
![{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}(1+r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e141c47327f387f2c15fec03dd072d965bd4a95)
![{\displaystyle a_{1}x-1=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d91c2f97949f269140a52c7d49a5987cb2e4174)
het moet zo zijn dat als je a1 te groot neemt, er een tegenspraak ontstaat
a1 te groot dan x-1/a1 te groot?
wanneer is x-1/a1 te groot?
als voor convergentie een ai<a1 nodig is
want stel
![{\displaystyle a_{1}>n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155d32e6e35ccd854c816a653bba01b3b5b55c83)
![{\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}<{\frac {1}{n}}\leq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a00dc259df698fdb3f698394020c9f425d7f99)
![{\displaystyle x-{\frac {1}{a_{1}}}>{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{a_{1}}}>{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}={\frac {1}{n(n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaf6e6fcc1d2e8e74473e17863eb75294618172)
![{\displaystyle a_{1}x-1>{\frac {a_{1}}{n(n+1)}}>{\frac {1}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521c75e2559e8b2467b5f7472f356c270cb8c46c)
Noem
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}=t_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390456a1e6de61e870ea9155e3b736c08ad99a95)
en
![{\displaystyle {\frac {1}{a_{k}}}=A_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb9af9d5bbaaed1ff2891400363e46484c77859)
dus
![{\displaystyle x=A_{1}(1+A_{2}(1+A_{3}(1+\ldots )))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0addac1efb838117f62f9191afee0b780aa54dd3)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\geq A_{1}\geq A_{2}\geq A_{3}\geq \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f929c5e4e69fc8645fec3ad8adb10cb6e4ddf44)
![{\displaystyle t_{n}\leq x<t_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64574a5b303eade44109dca547e9d454bfd9a228)
![{\displaystyle A_{1}=t_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08788e410b502fb8b1339373531d5526115fd319)
want stel
![{\displaystyle A_{1}=t_{m};m=n+k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16292cb1c2e4622c0ebd506a0c998afd3ffe8ae5)
![{\displaystyle x>t_{n}-t_{m}={\frac {k}{n(n+k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286142eb3f02d1a1e71b7d8999d5b8fb2c26d95f)
![{\displaystyle a_{1}x-1>A_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667b93a12917f57e05ad5fbb2795aab522f63517)
![{\displaystyle a_{1}x-1>a_{1}t_{n}t_{n+1}>{\frac {1}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb44a799c8ff4feaec58ff2d00f3446c2b174125)
Verdelingsfunctie: abs. cont. dan continu diff. op open interval en dus is de dichtheid daar continu.
open interval
met eventueel
verdeling
. Abs cont:
; van
:
; ook
Verdelingsfunctie
![{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P_{X}((-\infty ,x])=\int _{-\infty }^{x}g(t)\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63e585af092dd8aa43d28cc855abdebc9691f2b)
![{\displaystyle F'=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10131b70a7b0b4c39667f5386b14c449a5217e7)
continu op
bijna overal
![{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int _{\{X\leq x\}}h(t)\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c0f72089a6a7798bd193bdcbbe01ce1a8bb77c)
![{\displaystyle h,g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187b6c97a690e0051017b21340593875eb5f1313)
Wat is de (een) dichtheid?
?
is continu op open interval
Uniform op
verdelingsfunctie gedefinieerd op heel
en abs. continu. Continu differentieerbaar op
Idem
niet gedefinieerd voor
en ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
Draaimolen
Mijn stelsel: kind maakt cirkelbeweging, dus moet er een centripetale kracht op werken; dat is de reactiekracht van de rugleuning. Reactiekracht waarop? Op traagheidskracht. Welke? Maar ik kan het ook zijn die draait! Ik zit met mijn rug tegen een weegschaal.
Draaimolen: kind is in rust, maar voelt de rugleuning! Dus is er een kracht! Maar een supergladde schijf bij z'n voeten maakt een cirkelbeweging. Hoe kan dat?
Opm: iemand staat op de grond. Snelheid 0, dus ook geen versnelling. Geen zwaartekrachtsvernelling. Maar wel een kracht, want op een weegschaal wordt die aangegeven. Maar geen nettokracht.
Elektron spiraliseert om positron. centripetale kracht is coulombkracht. Waarom "valt" het niet op het positron? Tegenwerking door centrifugale kracht.
Lichaam
Frobenius:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(a)={\mathcal {F}}(1+2{\sqrt {2}})=a^{5}=31=1+3{\sqrt {2}}=1-2{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28136a01f76de2fe2a405f3c1c267d2582ee5f4b)
Geconjugeerde! Dit geldt ook voor de machten 2 - 6.
Let op:
cyclisch
eenheidswortels: ?
Elliptische kromme over
bv
over L
op de kromme
is er
zodat ...
![{\displaystyle x^{3}=(x_{1},x_{2})^{3}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df4f708a7bdd676f4ad1de75ec83a92f246dfa8)
![{\displaystyle y^{2}=(y_{1},y_{2})^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf50931853863cc8ad07ac9fb9157096a9de534)
bv
via tabel terugzoeken
Tabel
![{\displaystyle a\quad =21=1+2{\sqrt {2}};x=a;y^{2}=x^{3}+x+1=a^{3}+a\ \ +1=42=a^{19}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806db6617248aa9113804d425203485dfde2d0ed)
![{\displaystyle a^{2}\ \ =44=4+4{\sqrt {2}};x=a^{2};y^{2}=x^{3}+x+1=a^{6}+a^{2}+1=43=a^{11}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3748c5ef7e2c944b941bd5c893ee0dfcccd24c6)
![{\displaystyle a^{3}\ \ =20=\quad 2{\sqrt {2}};y^{2}=x^{3}+x+1=a^{9}+a^{3}+1=31=a^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72a2dd4c4f852ce92e40e2f92dc6d8297449ee3)
!
etc.
!
!
![{\displaystyle a^{8}\ \ =22=2+2{\sqrt {2}};y^{2}=24=a^{17}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef83c71b11adaf9675c8ec48de8bdbfe9647f7ba)
![{\displaystyle a^{9}\ \ =10=\qquad \ {\sqrt {2}};y^{2}=31=a^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1662a4d979a67946892da7d6dc6d641e5488393)
![{\displaystyle a^{10}\ =14=4+\ \ {\sqrt {2}};y^{2}=12=a^{23}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c927933c7ed7877d64043fca1506aa097efc660)
![{\displaystyle a^{11}\ =43=3+4{\sqrt {2}};y^{2}=12=a^{23}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38bd59ba5bd038d454af83b4e3b115dbb2b750e0)
![{\displaystyle a^{12}\ =4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b9243c47fb4da4e436e8e93212e10a16ecf283)
![{\displaystyle a^{13}\ =34=4+3{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c253be2f726a377788b6ddafadfb7077cd8a703f)
![{\displaystyle a^{14}\ =11=1+\ \ {\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456f7531b34b81e9e9aee8bc16491e7b03b5721f)
![{\displaystyle a^{15}\ =30=\qquad 3{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7844b6ac9e0555f532338ed7b23d30d8470dfe0)
![{\displaystyle a^{16}\ =32=2+3{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f8ac691254f0d3346631c8dd7709ae635b294b)
![{\displaystyle a^{17}\ =24=4+2{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f7676834c55ad928abac61600b9a9d22e30012)
![{\displaystyle a^{18}\ =2=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874be87872fd89f401d3c6ab576f76b7cdd92e29)
![{\displaystyle a^{19}\ =42=2+4{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c36bdab19da1c66049c7a83d2628bea63de7bf)
![{\displaystyle a^{20}\ =33=3+3{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f69043827d52102f92a8722f7b4891cc9dcaa1)
![{\displaystyle a^{21}\ =40=\quad 4{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553c57591f51a44c7ae2e085e7c179fb43798c3d)
![{\displaystyle a^{22}\ =41=1+4{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b960ae2160b0dfc0fd778454d8620786a02727ad)
![{\displaystyle a^{23}\ =12=2+\ \ {\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915499fffd683f0346b88db3b552f02af27260d7)
![{\displaystyle a^{24}\ =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94000f328d762d519bfda6a963bbb2665c68fc70)
geeft voor y:
![{\displaystyle x=a^{4};y=a^{2};y=-a^{2}=a^{14}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700afd5594806924df59e8b89972db9e805c9d44)
![{\displaystyle x=a^{6};y=a^{12};y=-a^{12}=a^{24}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2138037dcd20a54032cc77371dada67d30504a)
![{\displaystyle x=a^{7};y=a^{6};y=-a^{6}=a^{18}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1b0033788acc317096de4be986ee9d06313bd9)
![{\displaystyle x=a^{11};y=a^{6};y=-a^{6}=a^{18}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd4e31fc57320056cd878742e0a53efaba80512)
![{\displaystyle x=a^{12};y=a^{6};y=-a^{6}=a^{18}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ff25c06da71e9c2d44369202cfd7aed42ccbfb)
![{\displaystyle x=a^{14};y=a^{5};y=-a^{5}=a^{17}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6885525d05449c2b38287f0bb2c58dac599fe39b)
![{\displaystyle x=a^{18};y=a^{12};y=-a^{12}=a^{24}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c53fa3807ecace6c77d08042793f3732d9fdd9)
![{\displaystyle x=a^{19};y=a^{3};y=-a^{3}=a^{15}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7440575633322c7352ed35f92686d43b5d6136a9)
![{\displaystyle x=a^{20};y=a^{10};y=-a^{10}=a^{22}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603137a51296c1da11f8457ac5223fc211ce59a6)
![{\displaystyle x=a^{22};y=a^{1};y=-a^{1}=a^{13}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9122713ee7010f205e1ba6613eb4d763996af5)
![{\displaystyle x=a^{23};y=a^{3};y=-a^{3}=a^{15}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18de895779d8e56f189c677f444f6243b77882d)
![{\displaystyle x=a^{24};y=a^{3};y=-a^{3}=a^{15}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cf49b6a84d255cf43b1e89e301dfcfaefd4561)
![{\displaystyle x=3+j;y=4+2j;y=1+3j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d51e9d3c7be42dddb0d3c1fa36fd4fee98497fa)
![{\displaystyle x=3;y=4;y=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293e3033d75fae97f9a59c72ded9de6ffad9ece8)
![{\displaystyle x=3+3j;y=3;y=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d3ac2b33c245a50cab5342ec2930a5b8d6bfdc)
![{\displaystyle x=3+2j;y=3;y=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038c6931c846ec4340008656b33b029690d2e1d7)
![{\displaystyle x=4;y=3;y=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed3c08d2715cf6e8f2ac27acb3d292aa0111357)
![{\displaystyle x=1+3j;y=1+4j;y=4+j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313cd655864cfd1e9fe3e4afa95d62399280c91b)
![{\displaystyle x=2+2j;y=j;y=4j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5dd44d9b2a92a4591b114bda5b8665cb7abbaef)
![{\displaystyle x=2+3j;y=j;y=4j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97ae7e17dd8dcc6ab2cdcd11f48f06e5bc5799f)
![{\displaystyle x=1;y=j;y=4j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75271326f72f7c7e3e8729c1477bd5585f0e063)
![{\displaystyle x=3+4j;y=4+3j;y=1+2j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c43e976869bf195ccaa692019544ba3d07004a9)
![{\displaystyle x=1+2j;y=1+j;y=4+4j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43c1e1773c46e9027c51aa0c2664eaebc2eda6b)
![{\displaystyle x=2;y=4;y=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdaf13069413eb864bb4a30c3ccd7789b69c3295)
voortbrenger; probeer
![{\displaystyle A:x=1;y=j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d688904c1c1cb6b220893e262bd66e1337009ca6)
r = 3x2+1 / 2y = 4/2j = 2/3 j
x = r2-2x = 4/3 - 2 = -2/3 = -4 = 1
y=-j-2/3-1 = -5/3-j = -j = 4j
???
Kromme
![{\displaystyle C=\{(x,y)|y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5101b3355c89f9bb3209764ee3faa97584f6a1)
Via de trafo
![{\displaystyle x+d=\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89fcd715a6610e48640c274a6f3b0b71bceb2232)
![{\displaystyle y=\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594d02087f4874ca66c30b759da439aa743074e1)
wordt C afgebeeld op
![{\displaystyle C'=t(C)=\{(\xi ,\eta )|\eta ^{2}=(\xi -d)^{3}+a(\xi -d)^{2}+b(\xi -d)+c\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be3ef5725c150acf6d4a8f4dc55685515de23aa)
in xy-stelsel
![{\displaystyle =x^{3}+(a-3d)x^{2}+(3d^{2}-2ad+b)x-d^{3}+ad^{2}-bd+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782b66f88d08f30553c8291e301380b6094988b5)
Neem
![{\displaystyle d={\tfrac {1}{3}}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da167a5f33c377405d08881af508780bcfb4eff1)
dan
![{\displaystyle y^{2}=x^{3}+px+q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e9f7fbe12390b8324c3882f7f88350da735e45)
homomorfie??
![{\displaystyle q=0;y^{2}=x^{3}+px}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d3ed84df80ed9329b1a81f2d6cdc3d8a29cf2a)
![{\displaystyle H(x,y)=(X,Y)=(p^{a}x,p^{b}y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abaef283e3941bc671c39bb000b513e4c0b3120f)
![{\displaystyle y^{2}=p^{-2b}Y^{2}=x^{3}+px=p^{-3a}X^{3}+pp^{-a}X=p^{-3a}X^{3}+p^{1-a}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc830de831eb899db7a5cb87eceac7f74f9d4bc)
![{\displaystyle Y^{2}=p^{2b-3a}X^{3}+p^{2b+1-a}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38468c1b229893f5b8b389ac174ab2460995abf)
![{\displaystyle 2b-3a=0\Rightarrow 3a=2b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3e8c07aeb1f0aee846ad03248ac9eadf4cf0be)
![{\displaystyle 2b+1-a=0\Rightarrow a-1=2b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9e8ec0d2a4e0fe9cad6b39f95e1b124029838d)
![{\displaystyle -2a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931dfb7a7c13e92c47e6ff32a58bf3ce5af339a3)
![{\displaystyle a=-1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e4fd5f2bac8699f2f044b1a800c3a280b4bb8e)
![{\displaystyle b=-3/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff5ee0e9594d3b7831328a030134a95a5f67ada)
![{\displaystyle Y=p^{-3/4}y;X=p^{-1/2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4621b62d9933e78f2acc862fc8c5b845771836d7)
![{\displaystyle Y^{2}=p^{-3/2}y^{2}=p^{-3/2}x^{3}+p^{-3/2}px=X^{3}+X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a399f91571e4e80228195b192462c20da47377)
som
lijn door
en
heeft
![{\displaystyle \mathrm {rico} =-r={\frac {Y+y}{X-x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20accd0c63d8154466d8cf36e3bf58c6a93fd312)
dus
![{\displaystyle x,y,x',y'\in \mathbb {Q} \Rightarrow X,Y\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d8cb9100ab44bf07ca1ba837afcbd6cff3af8d)
het omgekeerde geldt niet
endomorfismen
![{\displaystyle \phi _{n}(x,y)=n(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456e15f97a9887d747452867db5228e2d04ceee8)
voor alle
endomorfisme als
![{\displaystyle \phi ((x,y)+(x',y'))=\phi (x,y)+\phi (x',y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20dd1d1d1f56fb40ae1568e05e329be8857925bd)
met inductie
![{\displaystyle \phi _{1}(x,y)=(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fd3a2fd2cf185e73a85d55531ec729cfe4dd34)
is endomorfisme
stel
![{\displaystyle \phi _{n}(x,y)=n(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456e15f97a9887d747452867db5228e2d04ceee8)
is endomorfisme, dan
![{\displaystyle n((x,y)+(x',y'))+((x,y)+(x',y'))=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce702add8c4304ac2d1ce8bd2e5df9d6ec94d59)
![{\displaystyle n(x,y)+n(x',y')+(x,y)+(x',y')=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd99d1dc44a18733b2386a0e3d4dc9ba3233a5c2)
![{\displaystyle (n+1)(x,y)+(n+1)(x',y')=\phi _{n+1}(x,y)+\phi _{n+1}(x',y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a83c1baa3e774ad3d3e21c0c655e010f63c6fd5)
Is ook
een endomorfisme? Met
, dus als
, dan
. Trek vanuit
een raaklijn, die snijdt de kromme in
, mits het opde kromme ligt
Mits kromme over
of
, e.d.
over
:
, dan ![{\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6221ad6fe119be161bd4be02b65699b0cb86ef)
![{\displaystyle y^{2}=x^{3}+px+q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e9f7fbe12390b8324c3882f7f88350da735e45)
andere snijpunten
met
![{\displaystyle y'^{2}=x'^{3}+px'+q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69932018c4da82850e8886fddd98e2b81931248b)
![{\displaystyle (y-y')(y+y')=x^{3}-x'^{3}+p(x-x')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a672e3169aaf96d31c6e355fc7c26881badf5)
![{\displaystyle \mathrm {rico} ={\frac {y-y'}{x-x'}}={\frac {x^{2}+xx'+x'^{2}+p}{y+y'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d51a96062fd35238221539a801b9ebccce213e)
als raakpunt, dan
![{\displaystyle \mathrm {rico} ={\frac {x'^{2}+x'x'+x'^{2}+p}{y'+y'}}={\frac {3x'^{2}+p}{2y'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787b3458ae2787c13c231cf434c8231214bf1a9d)
ook:
![{\displaystyle \mathrm {rico} ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {3x'^{2}+p}{2y'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470e1d492b80d01c04dab35533abd959b94c9111)
Raakpunt bepaald door:
![{\displaystyle y'^{2}=x'^{3}+px'+q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69932018c4da82850e8886fddd98e2b81931248b)
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+xx'+x'^{2}+p}{y+y'}}={\frac {3x'^{2}+p}{2y'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2495bc778144bd8c84b80f6073c2008a139c222c)
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+xx'+x'^{2}+p}{3x'^{2}+p}}={\frac {y+y'}{2y'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059d3cbe15316310f4c15ceb535f97acbc635640)
![{\displaystyle {\frac {\xi ^{2}+\xi +1+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}={\tfrac {1}{2}}(\eta +1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc7a2e6e907ee695256cd2fe5eea631a717d761)
met
![{\displaystyle \xi ={\frac {x'}{x}};\eta ={\frac {y'}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bd070172e5571e2cbf7b34dd434af86fec862f)
![{\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {p}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60d008645cd0dd6f6ebb26bd543238f8dc317da)
dus
![{\displaystyle \eta =2{\frac {\xi ^{2}+\xi +1+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}-1={\frac {-\xi ^{2}+2\xi +2+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88882ac90e3c224b83f1f04e3e4a054b7b176158)
verder
![{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {\xi ^{3}x^{3}+p\xi x+q}{x^{3}+px+q}}={\frac {\xi ^{3}+{\frac {p}{x^{2}}}\xi +{\frac {q}{x^{3}}}}{1+{\frac {p}{x^{2}}}+{\frac {q}{x^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d1c50215c2c0d7d2d88ab85d8bb1fb00960b12)
of met
![{\displaystyle {\tilde {q}}={\frac {q}{x^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d36d40efa5dfdd1c2291ba077723d00ffd9bb33)
![{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {\xi ^{3}+{\tilde {p}}\xi +{\tilde {q}}}{1+{\tilde {p}}+{\tilde {q}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a326e9b2932c2bb76cef9847c3fad1249fe96c3b)
andere vergelijking
![{\displaystyle \eta ={\frac {-\xi ^{2}+2\xi +2+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac3b864777d2f214e3b6be080cb2f45209a2f40)
Het lijkt niet aannemelijk dat
.
Kromme
endomorfismen
![{\displaystyle 1:\ (x,y)\in C\Rightarrow E(x,y)\in C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b830daf1a8696f74adb7ae9a820978b98c7fb733)
![{\displaystyle 2:\ E((x,y)+(x',y'))=E(x,y)+E(x',y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3992d83adc7373129a7934d075f032846f6d7afd)
![{\displaystyle O(x,y)=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19b2fca770fb9a28e88d86176ccd9071cc36e3c)
![{\displaystyle \phi _{n}(x,y)=n(x,y)\in End}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983c1821f483d9e44d8d377e329aa422247dafcf)
want
![{\displaystyle e((x,y)+(x',y'))=(x,y)+(x',y')=e(x,y)+e(x',y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e7ac7ea3fa5a476a03853a04023cccdac0261a)
want
![{\displaystyle f((x,y)+(x',y'))=f(x'',y'')=(x'',-y'')=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1b5ac40b8d2d23bad446226ebbd892100ad75e)
![{\displaystyle =(x,-y)+(x',-y')=f(x,y)+f(x',y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f238b071553b6f3e40efee5d8343cc31166e70c)
want
![{\displaystyle g((x,y)+(x',y'))=g(x'',y'')=(-x'',iy'')=-(x'',-iy'')=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828e3b5cebb18f4aa6dcfcb03c7c78698350bf15)
![{\displaystyle =-(x,-iy)-(x',-iy')=g(x,y)+g(x',y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663968ce75cba89eec5cd6baebcd5552a9371606)
want
![{\displaystyle h((x,y)+(x',y'))=h(x'',y'')=(-x'',-iy'')=-(x'',iy'')=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987b019a299f8ce6a0f3bce78674ff738deead76)
![{\displaystyle -(x,iy)-(x',iy')=h(x,y)+h(x',y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9b0d04d720a4bb0fa008a7535baae162100dd6)
x
![{\displaystyle f^{2}(x,y)=e(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de27e7ca92fc9050d477df565782fa61d406f781)
![{\displaystyle fg(x,y)=gf(x,y)=h(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf28abdfd83527bcbc5e0c65f72927772b3cc59)
![{\displaystyle fh(x,y)=hf(x,y)=g(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8a6b25a6666d6c74f6da9d1268f1bec7945701)
![{\displaystyle g^{2}(x,y)=f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29c1af06d8625365ea9714376327d607233473f)
![{\displaystyle gh(x,y)=hg(x,y)=e(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66de8b91225c8312d1e9cfbf749fc34cf743f571)
![{\displaystyle h^{2}(x,y)=f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583814b8438ed131b3228fe47177c35ff12ddae3)
- e f g h
- f e h g
- g h f e
- h g e f
+
Welke van
?
![{\displaystyle (e+e)(x,y)=(x,y)+(x,y)=(x',y')=(2e)(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754eb6caa4eb0e153747ac9d8bfe0f2a41b9a1eb)
![{\displaystyle (f+f)(x,y)=(x,-y)+(x,-y)=(x',y')=(2f)(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2f444517a81ecfd595224a8eba4bde5135dab5)
![{\displaystyle (g+g)(x,y)=(-x,iy)+(-x,iy)=(x',y')=(2g)(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa15ded8695750e6c69d2060e7869b3151aa063c)
![{\displaystyle (h+h)(x,y)=(-x,-iy)+(-x,-iy)=(x',y')=(2h)(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c94d2617839fb9a33ae9c1c0062454de9c6fc6)
raaklijn in
![{\displaystyle T:y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}(x-x_{0})+y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8642c24fdcf9f7e61a81370cc30d94ebfd51664)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2y}}{\frac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2y}}(3x^{2}+1)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd576b8666f951211a3ff8d11d0de3b478ecfc0c)
![{\displaystyle y={\frac {1}{2y_{0}}}(3x_{0}^{2}+1)(x-x_{0})+y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685968543d204fc372402259efcf166db6bca717)
anders
Kromme
![{\displaystyle T:y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}(x-x_{0})+y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8642c24fdcf9f7e61a81370cc30d94ebfd51664)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}}={\frac {3x^{2}+1}{2y}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e123def3b3ccf8f421d2b5dffdd033e9f218ea42)
![{\displaystyle y={\frac {3x_{0}^{2}+1}{2y_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd5454ef4b80d896655cce83c1cb6b72f410c33)
![{\displaystyle {\frac {y}{y_{0}}}-1={\frac {3x_{0}^{2}+3-2}{2x_{0}^{2}+2}}\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4345f5ffe7f703d5c893a3b5180dfac08be44393)
![{\displaystyle {\frac {y}{y_{0}}}-1=\left({\tfrac {3}{2}}-{\frac {1}{x_{0}^{2}+1}}\right)\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40753b148ef3aed07a8e76a55669a8cec5165835)
snijpunt S
![{\displaystyle y_{S}=y(x_{S})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ef59af9a0faf3010772f1bae55536524937093)
![{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1=\left({\tfrac {3}{2}}-{\frac {1}{x_{0}^{2}+1}}\right)\left({\frac {x_{S}}{x_{0}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71118536bc423eaf6914ed09e0c1e392b871a3a)
NB mogelijk is
kan niet
![{\displaystyle x_{S}=x_{0}\Rightarrow y_{S}=y_{0},y'=-y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eee7297e04555453411ac41917f48c7632acaa6)
![{\displaystyle e+e=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9958b37e31ec28ea21acb2cdb431abb306b432)
Welke van
?
![{\displaystyle (e+f)(x,y)=(x,y)+(x,-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4300a69502ee731750da3b615cc2d57bfbf227f9)
verbindingslijn door O
![{\displaystyle e+f=O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80911cf31cfdd6ef2746c523151741e1701c5ae6)
Welke van
?
![{\displaystyle (e+g)(x,y)=(x,y)+(-x,iy)=(x',y')=a(x+y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b6619f36e9552b4cac70593260e7afe050da21)
als het een van de endomorfismen is, dan
![{\displaystyle x_{S}=-x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d6e57ced0d844083c178c0388c1ec1a93436ed)
![{\displaystyle y_{S}^{2}=x_{S}^{3}+x_{S}=-x_{0}^{3}-x_{0}=-y_{0}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbcf1005091d9aef5e45c9218192ec629b46334)
![{\displaystyle y_{S}=\pm iy_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a23a8e5b087e6dabda58ae7d9b4395254d51dde)
verbindingslijn
en
![{\displaystyle =y_{0}+(1-i){\frac {y_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c85bdf46aab9901cd6312b140fe4c6dd0d09463)
![{\displaystyle {\frac {y}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1-i)\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa27ffc9fe58c99ae896b16516c2117002f1b563)
snijpunt S
![{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1-i)\left({\frac {x_{S}}{x_{0}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93036728b438985520f1a08c463fe6d9a35f754b)
NB mogelijk is
![{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1=i-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382daab8e94c54eda7f1edd819355eb6f45723c4)
![{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}=i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838ae70c85da082accead34b58808e193bc60b57)
![{\displaystyle y_{S}=iy_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a24952736caef8795ec5d65b33e2ee8a55d0c18)
![{\displaystyle y'=-y_{S}=-iy_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb6f936afc221e772135c9ed1ff0532fc0c03a3)
![{\displaystyle a=h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33664342026c97d3c7123cc36a5c11ef3a57003)
Welke van
?
![{\displaystyle (e+h)(x,y)=(x,y)+(-x,-iy)=(x',y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea47de58416f7f43108d7f8acb7bc29cb655afe5)
als het een van de endomorfismen is, dan
![{\displaystyle x_{S}=x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7bf9e8f767ce0da7a28e8bc2e79cb55fa4d9ae)
![{\displaystyle y_{S}^{2}=x_{S}^{3}+x_{S}=x_{0}^{3}+x_{0}=y_{0}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4dd8ab33df1e2f2dc20a2b053c0ac8026b73c7)
![{\displaystyle y_{S}=\pm y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e52a761fd50d44d654aca4e3cb1c8ea78872e3)
![{\displaystyle x_{S}=-x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d6e57ced0d844083c178c0388c1ec1a93436ed)
![{\displaystyle y_{S}^{2}=x_{S}^{3}+x_{S}=-x_{0}^{3}-x_{0}=-y_{0}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbcf1005091d9aef5e45c9218192ec629b46334)
![{\displaystyle y_{S}=\pm iy_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a23a8e5b087e6dabda58ae7d9b4395254d51dde)
verbindingslijn
en
![{\displaystyle =y_{0}+(1+i){\frac {y_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff1d69b313a6fd557a4c44db16edd757613745f)
![{\displaystyle {\frac {y}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1+i)\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12fbb601beab24723b687b92cb74b2608237d5f)
snijpunt S
![{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1+i)\left({\frac {x_{S}}{x_{0}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac976f048f681d50669be9e2216a2c7473c3004)
Als
![{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1=-i-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36abe931055828966e2da9937a6a37ad4fc3dcbc)
![{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}=-i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b4faa5564b852e3d0989d8e661c2a5a5be3c34)
![{\displaystyle y_{S}=-iy_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03482d389cd6f0a9de3b0776ce8ac78ee2c679a5)
![{\displaystyle y'=-y_{S}=iy_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeef04af45f9ab87d11ee57e1b8e872ea41db6db)
![{\displaystyle e+h=g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253295d7414da38068289d8349f2ce58bc5a7823)
Welke van
?
![{\displaystyle (g+h)(x,y)=(-x,iy)+(-x,-iy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4f04bb94bc13cc2ee81c3a30ae3d706e6eb6fd)
verbindingslijn door O
![{\displaystyle g+h=O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af951fdc78f98a6d228fc3f8bb2b6c519b9853e8)
Voor bv het lichaam
liggen naast het punt op oneindig de volgende punten op de kromme:
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
![{\displaystyle x^{3}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257a6ad55e616cb50142b1801f80eb9395c93a03) |
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) |
![{\displaystyle (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386) |
relatie
|
0 |
1 |
1,4 |
(0,1),(0,4) |
(0,1) = -(0,4)
|
1 |
3 |
- |
- |
|
2 |
1 |
1,4 |
(2,1),(2,4) |
(2,1) = -(2,4)
|
3 |
1 |
1,4 |
(3,1),(3,4) |
(3,1) = -(3,4)
|
4 |
4 |
2,3 |
(4,2),(4,3) |
(4,2) = -(4,3)
|
Uit oogpunt van symmetrie:
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
![{\displaystyle x^{3}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257a6ad55e616cb50142b1801f80eb9395c93a03) |
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) |
![{\displaystyle (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386) |
relatie
|
2 |
1 |
1,-1 |
(2,1),(2,-1) |
(2,-1) = -(2,1)
|
1 |
-2 |
- |
- |
|
0 |
1 |
1,-1 |
(0,1),(0,-1) |
(0,-1) = -(0,1)
|
-1 |
-1 |
2,-2 |
(-1,2),(-1,-2) |
(-1,-2) = -(-1,2)
|
-2 |
1 |
1,-1 |
(-2,1),(-2,-1) |
(-2,-1) = -(-2,1)
|
Noem de punten:
![{\displaystyle 0=\infty ,\,A=(-2,1),\,B=(-1,2),\,C=(0,1),\,D=(2,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c9c7def399cae776e58f3382e3f0ffb23edcb92)
en
![{\displaystyle -A=(-2,-1),\,-B=(-1,-2),\,-C=(0,-1),\,-D=(2,-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0072b3eb261cb2766ca149d8946bbb06834a9f)
|
|
|
|
(0-2) |
|
|
|
|
|
|
|
B |
02 |
|
|
|
|
A |
|
C |
|
D |
|
(20) |
-20 |
-10 |
00 |
10 |
20 |
(-20)
|
|
-A |
|
–C |
|
–D |
|
|
|
-B |
0-2 |
|
|
|
|
|
|
|
(02) |
|
|
|
lijnen door: -AA0, -BB0, -CC0, -DDO, ACD, AB, -CA, -DBC, plus gespiegeld
dan met A als voortbrenger:
![{\displaystyle 2A=C,\,3A=-D,\,4A=B,\,5A=-B,\,6A=D,\,7A=-C,\,8A=-A,\,9A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4880e65468c5e86f0e5687430fe620595278a6)
bv
A: X=-2;Y=1
2A: X=RICO= -2/2=-1; snijpunt -C, 2A=C
etc
Andere voortbrengers:
De punten
en
brengen een ondergroep voort.
- Endomorfismen
De afbeeldingen
met:
![{\displaystyle \phi _{n}(X,Y)=n(X,Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bd3afa8137b5e237f73e6ec45a3f4ac56078a2)
zijn endomorismen op de groep, immers:
![{\displaystyle \phi _{n}(kA+mA)=n(kA+mA)=n(k+m)A=nkA+nmA=\phi _{n}(kA)+\phi _{n}(mA)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7725a4078febb9eee68c317b354b163a487ab0c5)
Ze vormen een ring, met
![{\displaystyle (\phi _{n}+\phi _{m})(kA)=\phi _{n}(kA)+\phi _{m}(kA)=nkA+mkA=\phi _{n}(kA)+\phi _{m}(kA)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f76dc938993a589984739eb1168ed3e4f2657c3)
en
![{\displaystyle (\phi _{n}\circ \phi _{m})(kA)=\phi _{n}(\phi _{m}(kA))=\phi _{n}(mkA)=\phi _{nm}(kA)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccd8212157ef940e1fb4ab0f3c64c96595328de)
Zijn er nog andere?
Voor een endomorfisme
geldt algemeen voor alle
en
:
![{\displaystyle \varepsilon (kx)=k\varepsilon (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c7078f2cbd1f8fcc4173b62f024da66379fb46)
dus is als er een voortbrenger
is, waarvoor geldt:
![{\displaystyle \varepsilon (A)=rA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655c225bb0363551516f68686b9cc050104c5673)
is voor alle
:
![{\displaystyle \varepsilon (x)=\varepsilon (m_{x}A)=m_{x}\varepsilon (A)=m_{x}rA=rx=\phi _{r}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6bb57b1391cb009142f52cc8900d8d2ee37a65c)
Er zijn geen andere endomorfismen dan de triviale, tenzij de groep niet cyclisch is.
Frobenius-endomorfisme is een endomorfisme op deze ring, die abels is.
Maar geïnduceerd: Literatuur: Frobenius-endomorfisme.
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,Y)=(X^{5},Y^{5})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe455654143a5db92a60414d791c2b217cad4ce)
In dit geval is K geen uitbreiding:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(A)={\mathcal {F}}(3,1)=(3^{5},1^{5})=(3,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2da9de365967015ffdae0c3ca44affa1475f93b)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(B)={\mathcal {F}}(4,2)=(4^{5},2^{5})=(4,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de849dee9e6d08dd7e3fb0fb11221702791b5cf4)
etc
is de identiteit
Levert dit een ander endomorfisme op de groep?
stel
![{\displaystyle x\in L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fca945ad424639c27ec8dccaf96c0bda408d3d)
![{\displaystyle x=(a,b)=a+b{\sqrt {3}};a,b\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b5effdf2ac574fb06f11b7d071d176c432c0ff)
![{\displaystyle x^{5}=(a+b{\sqrt {3}})^{5}=a^{5}+4b^{5}{\sqrt {3}}=a+4b{\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {3}}=x^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b1b0faba788a09047f8d152e7a7d2958a84a1e)
Zoiets als geconjugeerde, maar op de elliptische kromme de tegengestelde.
![{\displaystyle (X,Y)+(X',Y')=(X'',Y'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e37d1762beb4cb41627a3e63950f8277a93a6ff)
met
rationale functies van ![{\displaystyle (X,Y),(X',Y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfa19343a1ed7788b1d63afd03faa8bf70146ac)
dan
![{\displaystyle {\mathcal {F}}((X,Y)+(X',Y'))=(X''^{5},Y''^{5})=(X^{5},Y^{5})+(X'^{5},Y'^{5})={\mathcal {F}}(X,Y)+{\mathcal {F}}(X',Y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e3e3bc5136c2b6b249e97ec7ec28c1c8d30225)
Maar
is een van de punten, zeg
![{\displaystyle (X_{A}^{5},Y_{A}^{5})=rA=r(X_{A},Y_{A})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda535bc953a62519d45f7a6ef746f94938dfa74)
dan
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(2A)={\mathcal {F}}(A+A)={\mathcal {F}}(A)+{\mathcal {F}}(A)=(X_{A}^{5},Y_{A}^{5})+(X_{A}^{5},Y_{A}^{5})=rA+rA=2rA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3750b6881cc3c18c9f17dd348dbee9724f3c880)
Analoog
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(nA)=nrA=rnA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595b757b41848ebc5123c2747bdfd34d6aca6352)
dus voor alle
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(x)=rx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168bbfdc4f1acb1e863426e6728579470125611b)
wat betekent dit?
Tel
![{\displaystyle (x,y)+(x',y')=(x_{S},y_{S})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85c5df25b9f6e8c3718426e5c07c48871a9dac7)
??
![{\displaystyle x_{S}=r^{2}-(x+x')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2901989da61062bbd36e3927fcb3a8ea7dd0b50)
![{\displaystyle x_{S}^{p}=r^{2p}-(x^{p}+x'^{p})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1230b609d3a74ec0a1e13c70ef374e5182985d90)
vermoedelijk
![{\displaystyle (x_{S}^{p},y_{S}^{p})=(x^{p},y^{p})+((x'^{p},y'^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58067daf7f15b3845d8bbaf74f261f244de70e99)
dan is
een endomorfisme
De Engelse W. zegt: als lichaam eindig is zijn er niet-triviale endomorfismen, afkomstig van het frobemius-endomorfisme.
Eindig lichaam
, met karakteristiek
.
Endomorfisme
Frobenius-endomorfisme op de ring!!!:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi )=\phi ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a419b2277fff0f68ebdeda1d79b6c7d06cc716)
![{\displaystyle \phi ^{p}=\phi \circ \ldots \circ \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da7d040db44c12fb957f377e3feea401125bb65)
dan,
![{\displaystyle \phi ^{p}((x,y)+(x',y'))=\phi ^{p-1}\circ \phi ((x,y)+(x',y'))=\phi ^{p-1}(\phi (x,y)+\phi (x',y'))=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e71c0aca5b6ad20c050b64d04ffa0e1f8b60e2b)
![{\displaystyle \phi ^{p}((x,y)+(x',y'))=(\phi (x,y))^{p}+(\phi (x',y'))^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc68d3affbf17e72063d1a7e84a6411e986515d)
algemeen: endomorfismen
dan ook
een endomorfisme
![{\displaystyle =(\phi +\psi )^{p-1}(\phi +\psi )(x,y)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830cfb5d9327f2e28afcce2df9c33e3d3960d84f)
![{\displaystyle =(\phi +\psi )^{p-1}(\phi (x,y)+\psi (x,y))=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb52a08ec936c0554a8e8a7c84a58ad374d1e93)
etc
![{\displaystyle =(\phi +\psi )^{p-2}(\phi ^{2}+\psi ^{2}+\phi \psi +\psi \phi )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7d59844cfe3d97d22f24bf3a869f5e35d76e13)
![{\displaystyle =(\phi +\psi )^{p-3}(\phi ^{3}+\phi ^{2}\psi +\phi \psi \phi +\phi \psi ^{2}+\psi \phi ^{2}+\psi \phi \psi +\psi ^{2}\phi +\phi ^{3}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b18f2c96b466181618f059ea6096dd2dcb7d32)
commutatieve endomorfismen
![{\displaystyle \phi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0b4523aa6268ea7b5d67b45f927814c36a472f)
Frobenius
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi _{n})=(\phi _{n})^{p}=\phi _{n^{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cd6e271ae9d01ea4f4f747af352c0d0b17d358)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi _{n}+\phi _{m})={\mathcal {F}}(\phi _{n+m})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165436fbaeb852aa6a08061eeae7141acfcce7cb)
![{\displaystyle =\phi _{(n+m)^{p}}=\phi _{(n^{p}+m^{p})}=\phi _{n^{p}}+\phi _{m^{p}}={\mathcal {F}}(\phi _{n})+{\mathcal {F}}(\phi _{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2230e7983d5ee55d826e5c9c4a7058ff61bf38)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi _{n}\phi _{m})={\mathcal {F}}(\phi _{nm})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067fe0eef97eb3e41569d55fb4d115ff34727830)
![{\displaystyle =\phi _{(nm)^{p}}=\phi _{(n^{p}m^{p})}=\phi _{n^{p}}\phi _{m^{p}}={\mathcal {F}}(\phi _{n}){\mathcal {F}}(\phi _{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1dca8ca647683b039f9782d9a014638f090fac)
zijn er andere????
Voor
![{\displaystyle (x,y)+(x',y')=(X(x,y,x',y'),Y(x,y,x',y'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5080af876de6046c3d384067f4d9384d5853921b)
where
![{\displaystyle X={\frac {x^{2}x'+xx'^{2}-yy'+2}{(x'-x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2412ecb4d1bb1b5df7780ea1fe5ad2feef363c)
en
![{\displaystyle Y={\frac {(3x+x')x'^{2}y-(x+3x')x^{2}y'-4(y'-y)}{(x'-x)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c33339628fba3f7a5709ada20738eaa04715c75)
Observe that
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {3x^{2}}{2y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d656767902514aca155a939657e2f4484dceb01)
eenvoudiger met
![{\displaystyle R={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70974db8808b1752d5d9d91eb4a7f028de7ea30c)
![{\displaystyle X=R^{2}-(x_{1}+x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe69cae2892cbf21dc2c97397ae09910acb2203)
![{\displaystyle Y-{\bar {y}}=R(X-{\bar {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c958c8dc17469e29dc1b172a05b8c5a7ddc0df48)
afleiding
![{\displaystyle y_{0}^{2}=x_{0}^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0229dffc97c1aacf8b52a3ab00fdfccf68eb4caf)
![{\displaystyle y_{1}^{2}=x_{1}^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1265ef4b13c37209d9808be4ef0fdace68d91f4b)
![{\displaystyle Y^{2}=X^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8205aa549e8466e6f84ca390b6d714e9eea0a030)
![{\displaystyle {\frac {Y-y_{0}}{X-x_{0}}}={\frac {Y-y_{1}}{X-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6383462cdef83a76fe9c68daeff6afa114c6c964)
![{\displaystyle Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})+y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b6fdd4ca8f9d939d1f5948c8cc7c3338dae445)
![{\displaystyle =\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})\right)^{2}+x_{0}^{3}+1+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})y_{0}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd3d2f0da289607eacdd947fc6dfd8a83db4bf5)
![{\displaystyle X^{3}+1=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})\right)^{2}+x_{0}^{3}+1+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})y_{0}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d8eb500157fa74d8384dbd795c246799d82dca)
![{\displaystyle X^{3}-x_{0}^{3}=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})\right)^{2}+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})y_{0}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3bc064964b4015d68c5a0573614affd72c7c1c)
![{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)^{2}(X-x_{0})+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}y_{0}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/effa93879c4e21d99857e9b33fb529f01d3c3057)
![{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {Y-y_{0}}{X-x_{0}}}(X-x_{0})+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}y_{0}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d326e136b4724e0436edaaf7ef8c7586fe80032f)
![{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(Y-y_{0})+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}y_{0}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74392b661210f7cb4fbbca9f5afee0932d78eacd)
![{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(Y+y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f46ca68eef948de976c8fcceeda2bcf78d248f)
![{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {(Y+y_{0})}{y_{1}+y_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6aaa4372478922b8568f23a464b5b61a3752d9)
![{\displaystyle X^{2}+Xx_{1}+x_{1}^{2}={\frac {y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {(Y+y_{1})}{y_{1}+y_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea55b121a76ec0805a24dbe907173e09261bf772)
aftrekken
![{\displaystyle X(x_{1}-x_{0})+x_{1}^{2}-x_{0}^{2}={\frac {y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {(y_{1}-y_{0})}{y_{1}+y_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898f68421b125e7d704013c501000fce07727e20)
![{\displaystyle X={\frac {(y_{1}-y_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}-(x_{1}+x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de46db1f2cf2581a5cfdaacb1aa920d2d9be45ff)
![{\displaystyle X={\frac {(y_{1}^{2}-2y_{1}y_{0}+y_{0}^{2})}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}-(x_{1}+x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c8364c1b9cc3154cb48ca18facaa7c4d2297b6)
![{\displaystyle X={\frac {x_{1}^{3}-2y_{1}y_{0}+x_{0}^{3}+2-(x_{1}+x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04a746063a163f846ec7d9ee63934caad44fd81)
![{\displaystyle X={\frac {x_{1}^{3}-2y_{1}y_{0}+x_{0}^{3}+2-(x_{1}^{2}-x_{0}^{2})(x_{1}-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32654acbb6f6b0951d6eea21172833b331210d0)
![{\displaystyle X={\frac {-2y_{1}y_{0}+2+x_{1}^{2}x_{0}+x_{0}^{2}x_{1}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b12e94dca37881757280319817b7a2e4e671454)
oké
![{\displaystyle Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})+y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b6fdd4ca8f9d939d1f5948c8cc7c3338dae445)
![{\displaystyle Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{1})+y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f1cde102353b902dc70ac2a2adb660cb5a24af)
optellen
![{\displaystyle 2Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(2X-(x_{1}+x_{0}))+y_{1}+y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80a27bc321e43be85008ca6a82d409ff1e153f7)
![{\displaystyle Y-{\bar {y}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-{\bar {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8738a23dbdab0b1ca7d6c79df0c1f732c76afb1)
Begrippen
- ICRS: referentiestelsel tov sterren
- Sterrentijd = Siderische tijd: uurhoek van het lentepunt; die Zeitintervalle zwischen den Meridiandurchgängen eines Fixsterns (genauer: der Frühlingspunkt) zu messen (siderische Zeit).
- Sterrendag: tijd die de Aarde nodig heeft om 360 graden om haar as te draaien ten opzichte van het lentepunt; tijd tussen twee culminaties van lentepunt
- Siderische dag: periode waarin de Aarde een volledige omwenteling (360 graden) om haar as maakt, bepaald door twee op elkaar volgende culminaties van een denkbeeldige, oneindig verre vaste ster; die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kulminationen eines fiktiven unendlich weit entfernten Fixsterns ohne Eigenbewegung
- Siderisch jaar: tijdsduur waarin de Aarde eenmaal zijn baan om de Zon doorloopt gerekend ten opzichte van de vaste sterren; Ein Sternenjahr oder siderisches Jahr (zu lateinisch sidus, Genitiv sideris ‚Stern‘) ist die Zeitspanne, die vergeht, bis die Sonne von der Erde aus gesehen die gleiche Stellung am Himmel in Bezug auf einen fiktiven unendlich weit entfernten Fixstern ohne Eigenbewegung einnimmt.
- Siderische maand tijd waarin de maan een volledige omloop om de aarde volbrengt ten opzichte van de vaste sterren.
- Siderische periode tijd van een volledige omwenteling of een volledige omloop van een hemellichaam tov vaste sterren
- Synodische periode
- Tropisch jaar: gemiddelde tijdsduur van een omwenteling van de zon tov lentepunt
nominale rentevoet, nominale groeifactor
nominaal betekent genoemd, in naam maar niet In werkelijkheid, dus de rentevoet die in de akte genoemd wordt.
reele rentevoet, reele groeifactor
effectieve rentevoet, effectieve groeifactor
inflatiecijfer, inflatiefactor
aantal termijnen
termijn rentevoet, termijn groeifactor
kosten als fracie, kostendaalfactor
bedrag
zonder inflatie en kosten
![{\displaystyle \left(1+{\frac {N}{t}}\right)^{t}=m_{t}^{t}=1+R=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3859a5f541dfcca82bbed04f4786ad79358374)
{(Engelse, Franse W)
met inflatie, zonder kosten
![{\displaystyle (1+E)=e=(1+R)(1+I)=r\cdot i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa8653d0b66390f7a6936e6a90fc2837bfd78de5)
(Engelse, Duitse W, Hypotheek rentetarieven)
met inflatie en kosten
![{\displaystyle (1+E)=e=(1+R)(1+I)/(1-K)=r\cdot i/k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6226c43f0f40fd29c06567bcd643770a5a666ac)
Een Frans arts, een Duits smid, een Fries boer, een Noors boerin, een Russisch kok?????
brug
- klapbrug, klepbrug, wipbrug?, flapbrug?
- valbrug
- ophaalbrug
- basculebrug
- oorgatbrug
- draaibrug
- ...
![{\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!{\text{O}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d3e44063342aa6c5d5428b5a95cd165e6e36f8)
![{\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\mathbf {\text{O}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fd9ed0bc56e4bfdaf3be46917aa96685c91ec0)
![{\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\odot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786f769814d49410426342c2e20c5a4bdebcbaf1)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4924635b1b72fd65cc18802d96f4addf82369c9c)
![{\displaystyle \oint \limits _{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8228a83ae44372a093382693f37fb1b3baf5617)
![{\displaystyle \oint {\Big (}{\frac {\frac {x}{z}}{k(x)}}{\Big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0897bd654c100be624fbab002c72930078efe13)
![{\displaystyle \oint \int }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d8284d81c064fe101a4b60c0a5feeb1b44476b)
![{\displaystyle {}\oint \int }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e15215cff3075fd2a908f6c250e7e16eff7ede0)
![{\displaystyle \oint x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a454ac1b7ab9a81a0fdc8edddd727af52706ca42)
![{\displaystyle \oint {}^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/affe40dd74c9c6054809ab159ae9be536261928d)
![{\displaystyle \oint \oint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a12a6ce685f75aebc35374f05c2cd855bcfd7f6)
![{\displaystyle \int \oint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6dd7c1b5854a012dbe9638626d6cc9cf174f13)
![{\displaystyle \int \int }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3747dd4eca5b84108d36bcba225173c15c97cbe7)
![{\displaystyle \iint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1534cac573e0e2b359c385293720bfca1193dde3)
![{\displaystyle \oiint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
Trek achtereenvolgens een van de objecten X3Q@ uit de vaas.
aanwezig |
aantal |
trekking |
over |
aantal |
getrokken |
aantal
|
X3Q@ |
4 |
3 |
XQ@ |
3 |
3 |
1
|
XQ@ |
3 |
X |
Q@ |
2 |
X3 |
2
|
Q@ |
2 |
@ |
Q |
1 |
@X3 |
3
|
Q |
1 |
Q |
|
0 |
Q@X3 |
4
|
|
0 |
|
|
0 |
Q@X3 |
4
|
Wanneer alle 4 objecten getrokken zijn, stopt het.
Met genummerde briefjes
aanwezig |
aantal |
trekking |
over |
aantal |
getrokken |
aantal
|
6789 |
4 |
9 |
678 |
3 |
9 |
1
|
678 |
3 |
8 |
67 |
2 |
89 |
2
|
67 |
2 |
7 |
1 |
1 |
789 |
3
|
6 |
1 |
6 |
|
0 |
6789 |
4
|
|
0 |
? |
|
|
6789 |
4
|
Ook nu houdt het op, al doen de nummers denken dat je verder zou kunnen gaan en vragen naar briefje 5.
Met genummerde briefjes 1234
aanwezig |
aantal |
trekking |
over |
aantal |
getrokken |
aantal
|
1234 |
4 |
4 |
123 |
3 |
4 |
1
|
123 |
3 |
3 |
12 |
2 |
43 |
2
|
12 |
2 |
2 |
1 |
1 |
432 |
3
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
4321 |
4
|
|
0 |
? |
|
|
4321 |
4
|
Natuurlijk eindigt dit ook hier, maar met appels.
aanwezig |
aantal |
trekking |
over |
aantal |
getrokken |
aantal
|
|
4 |
|
|
3 |
|
1
|
|
3 |
|
|
2 |
|
2
|
|
2 |
|
|
1 |
|
3
|
|
1 |
|
|
0 |
|
4
|
|
0 |
? |
|
|
? |
|
Zou je nog meer appels kunnen pakken? Je hebt er 5 nodig: leen een appel. Of voor 6, leen er 2.
aanwezig |
aantal |
trekking |
over |
aantal |
getrokken |
aantal
|
|
4 |
|
|
3 |
|
1
|
|
3 |
|
|
2 |
|
2
|
|
2 |
|
|
1 |
|
3
|
|
1 |
|
|
0 |
|
4
|
|
0 |
|
|
-1 |
|
5
|
|
-1 |
|
|
-2 |
|
6
|
Plak een sticker met een nummer op de appels (analogie met briefjes 1234).
aanwezig |
aantal |
trekking |
over |
aantal |
getrokken |
aantal
|
1234 |
4 |
4 |
123 |
3 |
4 |
1
|
123 |
3 |
3 |
12 |
2 |
34 |
2
|
12 |
2 |
2 |
1 |
1 |
234 |
3
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1234 |
4
|
1x |
0 |
x |
1 |
-1 |
x1234 |
5
|
12y |
-1 |
y |
12 |
-2 |
yx1234 |
6
|
Wat te doen met x en y?
Als appels genummerd zijn, met nummer 1 na een zeker punt (|).
- ....-2-10 | 1234....
of
- ....-3-2-1 | 1234....
In beide gevallen is het eerste viertal
- 1234
en het eerste tiental
- 123...10
Het eerste tiental met nummers x0,x1,...,x9 is het tiental met x=1:
- 101121...19
Tijdsperioden
2e jaar v. geb
|
1e jaar v. geb
|
geboortejaar
|
1e jaar n. geb
|
2e jaar n. geb
|
3e jaar n. geb
|
(jaar -2?)
|
(jaar -1?)
|
(jaar 0?)
|
jaar 1
|
jaar 2
|
jaar 3
|
|
|
|
1e levensjaar
|
2e levensjaar
|
3e levensjaar
|
|
|
(leeftijd -2)
|
(leeftijd -1)
|
leeftijd 0
|
leeftijd 1
|
leeftijd 2
|
|
tijd sinds geboorte
|
-----------------|-------------------|--------------------|--------------------|--------------- ...................-1......................0......................1........................2........
|
Wat als het nulpunt, de geboorte, precies op een jaarovergang ligt?
3e jaar v. geb
|
2e jaar v. geb
|
1e jaar v. geb
|
1e jaar n. geb
|
2e jaar n. geb
|
3e jaar n. geb
|
(jaar -3/-2?)
|
(jaar -2/-1?)
|
(jaar -1/0?)
|
jaar 1
|
jaar 2
|
jaar 3
|
|
|
|
1e levensjaar
|
2e levensjaar
|
3e levensjaar
|
|
|
(leeftijd -2)
|
(leeftijd -1)
|
leeftijd 0
|
leeftijd 1
|
leeftijd 2
|
|
Hoe is dat in onze jaartelling?
Het veronderstelde jaar van de geboorte van Chr. wordt het jaar 1 genoemd, zelfs 1 na Chr., hoewel het begon vóór zijn veronderstelde geboorte!
Ik ben geboren op 1982-08-13.
Mijn geboortejaar is dus 1982.
Het eerste kalenderjaar van (in) mijn leven is 1982
Het eerste volle kalenderjaar van mijn leven is 1983
Het eerste jaar na mijn geboorte is 1983.
Het eerste jaar voor mijn geboorte is 1981.
Mijn eerste levensjaar is geen kalenderjaar, maar loopt van ...
![{\displaystyle ={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2036bf761581da99bc127a607548e059c92f66a)
![{\displaystyle =]a,b[=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47442bcc8d03ef6e348b77fa1360f68c98f55158)
groepen
homomorfisme
vectorruimte
stel
is voor elke
een homomorfisme mogelijk?
dan voor
![{\displaystyle h(xy)=h(x)\circ h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bf288f40bddbfe55e27bd3faa11ec567e18c1c)
![{\displaystyle h(e)=h(ee)=h(e)\circ h(e)=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41dfad5c3f8cdd94de6ba795b9009bd920e1d564)
![{\displaystyle h(e)=h(xx^{-1})=h(x)\circ h(x^{-1})=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e889b9acc91009f810cb50c9871982fb10450e30)
dus
![{\displaystyle h(x^{-1})=(h(x))^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64203f9fc88dd9121b14e682ee03bf1c5f965594)
![{\displaystyle xy=ab\Rightarrow h(xy)=h(x)\circ h(y)=h(ab)=h(a)\circ h(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719d6c808459add0517cc644f33adca7acc8deb5)
![{\displaystyle a=xz,b=z^{-1}y\Rightarrow h(xy)=h(x)\circ h(y)=h(ab)=h(xz)\circ h(z^{-1}y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32903edeab28d8d531c4c0e6f235980d94c11bab)
In een driedimensionale euclidische ruimte is een cartesisch assenstelsel gegeven met de eenheidsvectoren
. Van het punt
met de coördinaten
en
, is
de plaatsvector. Dan is
![{\displaystyle {\vec {r}}=x{\vec {e_{x}}}+y{\vec {e_{y}}}+z{\vec {e_{z}}}={\vec {r}}_{x}+{\vec {r}}_{y}+{\vec {r}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ec3672ed6b1e7487b4e1cd401461e597099b2d)
Daarin zijn
,
en
respectievelijk de x-, y- en z-componenten van de plaatsvector
.
Het is niet correct te schrijven:
![{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe5622ace035bf6747042a78d531deacf8d81a6)
of
![{\displaystyle P=(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1320b61607963c1f2ae3598093f6167d7e0ed6)
Ook is
niet hetzelfde als
.
Het punt is dat de eenheidsvectoren
een basis vormen van
en het coördinatenstelsel daaraan "hangt".
Wat is eigenlijk een coördinatenstelsel?
Een euclidische ruimte
met oorsprong
en orthonormale basis
is isomorf met
voorzien van inproduct.
In de rijtjesruimte
is bv.
een element (vector).
![{\displaystyle v=v_{x}{\vec {e_{x}}}+v_{y}{\vec {e_{y}}}+v_{z}{\vec {e_{z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9caf23c47d8297e9b24a84be146f8172e0424add)
met
termen
- ware waarde
- fout = afwijking
- systematische fout
- toevallige fout
meting van ware waarde
![{\displaystyle \mu _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2fd9b8decb38a3cd158e7b6c0c6e2d987fefcc)
uitkomst
-de meting
![{\displaystyle X_{i}=\mu +U_{i}=\mu _{0}+\Delta \mu +U_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49453abbb0539457e630e05659ce60f516218c3c)
met toevallige fout
![{\displaystyle U_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b21a6f475b0e68475c6019abe1fed0b415e0e42)
waarvoor geldt
![{\displaystyle \operatorname {E} U_{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86aba17ade2b37029fc90504eb66890c1d8e5fe7)
en systematische fout
![{\displaystyle \Delta \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ba4aae1ac60e204740e6ad5b0f47f4d8541f53)
![{\displaystyle E(X-\mu _{0})^{2}=E(X-\mu +\mu -\mu _{0})^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e21d40b628a57c5e156e585ad1f0c0aee0ad3e)
![{\displaystyle =E(X-\mu )^{2}+(\mu -\mu _{0})^{2}=\mathrm {var} (X)+\mathrm {bias} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e268d789f107363d6650108281362da45782901e)
- nauwkeurigheid = accuratesse = samengaan van precisie en juistheid = maat voor de fout
- juistheid = systematische fout
- precisie = toevallige fout =
- geldigheid = validiteit
- reproduceerbaarheid =
- herhaalbaarheid = precisie?
- betrouwbaarheid = precisie
- stabiliteit
kogel zinkt in vloeistof
voor
![{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi <\alpha <{\tfrac {1}{2}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064b9e79c34556f9230a3007765088160eb18cb0)
is de kracht langs de voerstraal vanuit middelpunt naar een punt van de kogel
![{\displaystyle F(\alpha )=\eta {\frac {\mathrm {d} v(\alpha )}{\mathrm {d} r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214637db99f30277e4aa2234ebca3e654e148c7d)
Alleen de verticale z-component is van belang:
![{\displaystyle F_{z}(\alpha )=F(\alpha )\cos(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed38946508fc46c86a0f4e9dc07e0ac1e9c679bb)
Totaal
![{\displaystyle F_{z}=\eta \iint \cos(\alpha ){\frac {\mathrm {d} v(\alpha )}{\mathrm {d} r}}\,\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \alpha =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f786b665e263e499b49377cb5771ea87257d5052)
![{\displaystyle =2\eta \cdot 2\pi r\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}(\alpha ){\frac {\mathrm {d} v(\alpha )}{\mathrm {d} r}}\,\mathrm {d} \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2cfe74cc480c7e25d469801a9e6792e02e37fb)
Neerwaarts (volume V):
![{\displaystyle F=V(\rho _{K}-\rho _{fl})g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a63f9a05d2ed2e0bb2a90db2fd4cab1a0e265c5)
Evenwicht
![{\displaystyle F_{z}=F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05642377fb4382389450e2fbd9d56409f89ed6fa)