Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Gumbel
|
Kansdichtheid
|
Verdelingsfunctie
|
Parameters
|
plaatsparameter (reëel)
schaalparameter (reëel)
|
Drager
|
|
Kansdichtheid
|
, waarin
|
Verdelingsfunctie
|
![{\displaystyle e^{-z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc74f35dad4a02e1253aa1baa2320294896b07f4) met als boven
|
Verwachtingswaarde
|
|
Mediaan
|
|
Modus
|
|
Variantie
|
|
Scheefheid
|
|
Kurtosis
|
|
Entropie
|
|
Moment- genererende functie
|
|
Karakteristieke functie
|
|
|
De gumbel-verdeling, genoemd naar de Duitse wiskundige Emil Julius Gumbel (1891–1966), is een kansverdeling die toepassing vindt als verdeling van een extreme waarde, zoals het maximum in een steekproef.
De standaard gumbel-verdeling is een kansverdeling met verdelingsfunctie:
![{\displaystyle F(x)=e^{-e^{-x}},~x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4b2c68f5e3e5d568a36bc9707d21534dc7f60c)
en kansdichtheid:
![{\displaystyle f(x)=e^{-x}e^{-e^{-x}},~x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c034c49e73c3b066c6425dba3f80adf25dd408dd)
Door hernormering ontstaat de gumbel-verdeling met parameters
en
, waarvan de verdelingsfunctie wordt gegeven door:
![{\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{(\mu -x)/\beta }},~x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec32a49498e904f27fea98534937dca4b7de7444)
De verwachtingswaarde is
,
waarin
de constante van Euler is.
![{\displaystyle \gamma \approx 0{,}5772}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df52c4e7178123b5e3e75aad8b453e34011e2e9e)
De standaardafwijking is
![{\displaystyle {\tfrac {\pi }{\sqrt {6}}}\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cac688880d5cfe413924824f2c3e267dbade6e1)
De mediaan is
![{\displaystyle \mu -\beta \log(\log(2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0fe0aabd1a62649628adb3db08083e5cae79986)
De modus is
.
Gumbel-papier met een gumbel-verdeling.