Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de groepentheorie , een onderdeel van de wiskunde , heeft orde twee nauw verwante betekenissen :
de orde van een groep is gelijk aan de kardinaliteit , dat wil zeggen het aantal elementen van de groep;
de orde , soms periode , van een element
g
{\displaystyle g}
van een groep is het kleinste positieve gehele getal
m
{\displaystyle m}
, zodat
g
m
=
e
{\displaystyle g^{m}=e}
, waarin
e
{\displaystyle e}
het neutrale element van de groep is. Als zo'n
m
{\displaystyle m}
niet bestaat, zegt men dat
g
{\displaystyle g}
een oneindige orde heeft. Alle elementen van eindige groepen zijn van een eindige orde.
De orde van de groep
G
{\displaystyle G}
wordt genoteerd als
|
G
|
{\displaystyle |G|}
, of ook wel als
o
r
d
(
G
)
{\displaystyle \mathrm {ord} (G)}
, en de orde van een element
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
door
o
r
d
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {ord} (g)}
.
De symmetriegroep
S
6
{\displaystyle \mathrm {S} _{6}}
heeft als elementen de 6 permutaties van 3 objecten, dus
o
r
d
(
S
6
)
=
6
{\displaystyle \mathrm {ord} (\mathrm {S} _{6})=6}
. De groep heeft de onderstaande cayley-tabel .
*
e
=
123
{\displaystyle e=123}
s
=
132
{\displaystyle s=132}
t
=
213
{\displaystyle t=213}
u
=
231
{\displaystyle u=231}
v
=
312
{\displaystyle v=312}
w
=
321
{\displaystyle w=321}
e
{\displaystyle e}
e
e
=
123
=
e
{\displaystyle ee=123=e}
s
e
=
132
=
s
{\displaystyle se=132=s}
t
e
=
213
=
t
{\displaystyle te=213=t}
u
e
=
231
=
u
{\displaystyle ue=231=u}
v
e
=
312
=
v
{\displaystyle ve=312=v}
w
e
=
321
=
w
{\displaystyle we=321=w}
s
{\displaystyle s}
e
s
=
132
=
s
{\displaystyle es=132=s}
s
s
=
123
=
e
{\displaystyle ss=123=e}
t
s
=
231
=
u
{\displaystyle ts=231=u}
u
s
=
213
=
t
{\displaystyle us=213=t}
v
s
=
321
=
w
{\displaystyle vs=321=w}
w
s
=
312
=
v
{\displaystyle ws=312=v}
t
{\displaystyle t}
e
t
=
213
=
t
{\displaystyle et=213=t}
s
t
=
312
=
v
{\displaystyle st=312=v}
t
t
=
123
=
e
{\displaystyle tt=123=e}
u
t
=
321
=
w
{\displaystyle ut=321=w}
v
t
=
132
=
s
{\displaystyle vt=132=s}
w
t
=
231
=
u
{\displaystyle wt=231=u}
u
{\displaystyle u}
e
u
=
231
=
u
{\displaystyle eu=231=u}
s
u
=
321
=
w
{\displaystyle su=321=w}
t
u
=
132
=
s
{\displaystyle tu=132=s}
u
u
=
312
=
v
{\displaystyle uu=312=v}
v
u
=
123
=
e
{\displaystyle vu=123=e}
w
u
=
213
=
t
{\displaystyle wu=213=t}
v
{\displaystyle v}
e
v
=
312
=
v
{\displaystyle ev=312=v}
s
v
=
213
=
t
{\displaystyle sv=213=t}
t
v
=
321
=
w
{\displaystyle tv=321=w}
u
v
=
123
=
e
{\displaystyle uv=123=e}
v
v
=
231
=
u
{\displaystyle vv=231=u}
w
v
=
132
=
s
{\displaystyle wv=132=s}
w
{\displaystyle w}
e
w
=
321
=
w
{\displaystyle ew=321=w}
s
w
=
231
=
u
{\displaystyle sw=231=u}
t
w
=
312
=
v
{\displaystyle tw=312=v}
u
w
=
132
=
s
{\displaystyle uw=132=s}
v
w
=
213
=
t
{\displaystyle vw=213=t}
w
w
=
123
=
e
{\displaystyle ww=123=e}
De orde van het neutrale element
e
{\displaystyle e}
is gelijk aan 1.
De elementen
s
,
t
{\displaystyle s,t}
en
w
{\displaystyle w}
zijn involuties , ze hebben orde 2.
Zowel
u
{\displaystyle u}
als
v
{\displaystyle v}
hebben orde 3, want
u
3
=
u
2
u
=
v
u
=
e
{\displaystyle u^{3}=u^{2}u=vu=e}
v
3
=
v
2
v
=
u
v
=
e
{\displaystyle v^{3}=v^{2}v=uv=e}
Een groep waarin alle elementen, behalve het neutrale element waarvan de orde 1 is, van de orde 2 zijn, dus involuties zijn, is commutatief .
a
b
=
(
a
b
)
−
1
=
b
−
1
a
−
1
=
b
a
{\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}