Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In het hamiltonformalisme wordt de poisson-haak voor twee dynamische grootheden
en
als volgt gedefinieerd:
![{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128afd79204da793f6c8ffad51d751dea0f6117d)
waarbij
de coördinaten in de faseruimte zijn.
Dit begrip werd door de Franse wiskundige Siméon Poisson in 1809 ingevoerd[1]. De poisson-haak in de klassieke mechanica komt overeen met de commutator in de kwantummechanica.
De volgende eigenschappen gelden voor gelijk welke drie functies
die afhangen van de faseruimte en de tijd:
- Antisymmetrisch
![{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff1f1f4a7eef368856844d55a700e559463abe1)
- Lineair
![{\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90081ce49beea361cb78167059f62a66ce970c3f)
- Productregel
![{\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b6f742232f680ffab1030dba8f89aee85a0f5c)
- Voldoen aan de Jacobi-identiteit
![{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022941efe73a03dbf8e90d3ca46fa4aba6bce0bd)
Op grond van deze eigenschappen is de Poisson-haak een voorbeeld van een Lie-haak.
Door gebruik te maken van de Poisson-haak kan men de vergelijkingen van Hamilton op een heel elegante manier als volgt schrijven:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}=\{q,H\}\\{\dot {p}}=\{p,H\}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48bbf63580dcfcd34cacd8e3717b7d348cf22a93)
Bronnen, noten en/of referenties
- ↑ Poisson. J. de l'École Polytech. 8, pp. 266-344 (1809)
|