Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Het postulaat van Bertrand is een stelling in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, die zegt dat bij elk positief geheel getal
altijd een priemgetal
is tussen
en het dubbele daarvan. Een sterkere uitspraak is dat voor
er altijd een priemgetal
is met
.
Dit postulaat staat ook bekend als de stelling van Bertrand-Chebyshev of de stelling van Chebyshev. Joseph Bertrand formuleerde het als een vermoeden in 1845, en Chebyshev bewees het in 1850. Srinivasa Aaiyangar Ramanujan publiceerde in 1919 een eenvoudiger bewijs, dat de negentienjarige Erdős in 1931 verbeterde. Zijn bewijs beschouwt de binomiaalcoëfficiënt
![{\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{n!n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ea3e7362172a1f3deec47cd3d5950c7f583109)
Stel nu dat er een
is waarvoor er geen priemgetal tussen
en
zit, dan geldt:
,
- want
![{\displaystyle 4^{n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}=2+\sum _{k=1}^{2n-1}{\binom {2n}{k}}\leq 2n{\binom {2n}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b37c99f2d8bda44acc03d5e5809daae3f2feba4)
- aangezien
de grootste term in de som is.
![{\displaystyle {2n \choose n}=\prod _{p=1}^{2n}p^{s(p)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2320b2e42378a1678eaf87285e4b4cff28fa85)
![{\displaystyle \prod _{p=1}^{2n}p^{s(p)}\leq (2n)^{{\sqrt {(}}2n)}4^{2n/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e851657d8f2ffbddc07d8aa728dfe0ecc91c022)
Tezamen impliceren deze feiten dat
![{\displaystyle 4^{n/3}\leq (2n)^{1+{\sqrt {2n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54709e1d112cb71551776c5ceadeaaf560c103a2)
hetgeen onwaar is voor
groot genoeg. Voor kleinere
is het postulaat eenvoudig empirisch te controleren.
Het aantal priemgetallen tussen
en
, voor
is 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 3, ... (rij A060715 in OEIS).