Een Reed-Muller-code is een lineaire foutcorrigerende code, die gebruikt wordt bij draadloze communicatie, in het bijzonder in communicatie in de ruimte.[1] Bovendien steunt 5G op de nauw verwante polaire codes.[2]
Reed-Mullercodes zijn een generalisatie van Reed-Solomoncodes en Walsh-Hadamardcodes. Traditioneel gebruikt met Reed-Mullercodes als binaire codes, wat betekent dat de boodschappen en codewoorden binaire tekenreeksen zijn. De codes zijn vernoemd naar David E. Muller, een Amerikaanse wiskundige en computerwetenschapper, die de codes in 1954 ontdekte[3] en naar Irving S. Reed, een Amerikaanse wiskundige, die het eerste efficiënte decodeeralgoritme voor de codes voorstelde.[4]
Er bestaan verschillende equivalente manieren om Reed-Mullercodes te beschrijven. Hier wordt gebruik gemaakt van de methode met generatormatrix. Een andere manier is via veeltermen. De generator-matrix van een Reed-Muller-code met lengte
wordt opgebouwd als volgt.
Beschouw eerst de vectorruimte met dimensie d over het eindig lichaam
. Deze vectorruimte bevat
elementen.
![{\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{d}=\{x_{1},\ldots ,x_{2^{d}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7f9c9fe80915a44648da6b71b264c6dc03fffa)
We definiëren nu in de n-dimensionale ruimte over
de 'indicator-vectoren':
![{\displaystyle \mathbb {I} _{A}\in \mathbb {F} _{2}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae5e96d61fa0fb2bc2afb3bd01e4d490cf59e3b)
op deelverzamelingen
door:
![{\displaystyle \left(\mathbb {I} _{A}\right)_{i}={\begin{cases}1&{\mbox{ als }}x_{i}\in A\\0&{\mbox{ elders}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e9492b7619353545ea95bf955d3af44efccb28)
en we definiëren in
de volgende binaire bewerking 'puntproduct':
![{\displaystyle w\wedge z=(w_{1}\times z_{1},\ldots ,w_{n}\times z_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cf76d0a89006cb4f9d4b4f9c5850de21871926)
is een
-dimensionale vectorruimte over
, en is dus te schrijven als
We definiëren nu de volgende vectoren ter lengte
en
![{\displaystyle v_{i}=\mathbb {I} _{H_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6b0d05c91506c2c80c6aadcd108ea912d40e7c)
waarbij
hypervlakken in
zijn (van dimensie
):
![{\displaystyle H_{i}=\{y\in (\mathbb {F} _{2})^{d}\mid y_{i}=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d84c3f04d8d05752a7365c78f5f404a13154ba)
De Reed-Muller RM(d,r)-code van de orde
en lengte
is de lineaire code die wordt gegenereerd door
en de puntproducten tot en met
van de vectoren
.
Zij
. Dan is derhalve
en
,
en
![{\displaystyle {\begin{matrix}v_{0}&=&(1,1,1,1,1,1,1,1)\\v_{1}&=&(1,0,1,0,1,0,1,0)\\v_{2}&=&(1,1,0,0,1,1,0,0)\\v_{3}&=&(1,1,1,1,0,0,0,0).\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7dde97f07038408d6cb3e1090c33382388787b1)
De RM(3,1)-code wordt gegenereerd door de verzameling
![{\displaystyle \{v_{0},v_{1},v_{2},v_{3}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa72eaf1b67c462078364d36192a15685bb6a1c)
of, meer expliciet geformuleerd, door de rijen van de matrix:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a521075a2b43b0ca09bb6a4527f73bdee44e8c91)
De dimensie van de code is 4, dus de code bestaat uit 16 codewoorden.
De RM(3,2)-code wordt gegenereerd door de verzameling
![{\displaystyle \{v_{0},v_{1},v_{2},v_{3},v_{1}\wedge v_{2},v_{1}\wedge v_{3},v_{2}\wedge v_{3}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ce1e89b1e50c159d560c29617d41123755d4b2)
ofwel door de volgende matrix:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd9bf0c31131a5cac5b0b87754f009bcdfc8e11)
Volgende eigenschappen gelden voor Reed-Mullercodes:
- De verzameling van alle mogelijke puntproducten tot en met
van de vectoren
vormt een basis van
.
- De RM(d,r)-code heeft dimensie
.
- Er geldt RM(d,r) = RM(d-1,r) | RM(d-1,r-1) waarbij '|' voor twee lineaire codes
is gedefinieerd als
.
- RM(d,r) heeft minimale Hammingafstand
.
Bronnen, noten en/of referenties
|