In de laatste twee speelronden van het seizoen 2021/22 zat Kooy voor het eerst bij de wedstrijdselectie van Jong FC Utrecht. Tot speelminuten kwam het dat seizoen nog niet. Zijn officiële debuut volgde in het seizoen 2022/23 op 30 september 2022 uit tegen Telstar (2–2 gelijkspel).[3] Hij startte de wedstrijd in de basis en werd na 62 minuten gewisseld voor Reda Akmum.[4]
Kooy werd in 2022 geselecteerd voor Nederland onder 17, waarbij hij drie keer zonder speelminuten bij de wedstrijdselectie zat.[5][6] In datzelfde jaar werd hij eveneens voor het eerst geselecteerd voor Nederland onder 18.[7][8] Voor dat elftal kwam hij in totaal vier keer in actie (twee keer als basisspeler en twee keer als invaller), scoorde hij tegen Faeröer onder 19 in de extra tijd de winnende treffer in een 2–3 overwinning en was hij in de wedstrijd tegen Verenigde Arabische Emiraten onder 18 89 minuten lang aanvoerder.[9][10][11]